¿Cuál es la fórmula de Hirzebruch-Riemann-Roch para la variedad bandera de un álgebra de Lie?

Question

Si tenemos un álgebra de Lie g de dimensión finita, entonces la variedad bandera de g es un esquema proyectivo.

Mi pregunta es ¿cuál es la fórmula de Hirzebruch-Riemann-Roch para este esquema proyectivo? ¿Hay algún resultado interesante?

Me pregunto si Riemann-Roch en este entorno tiene algunas explicaciones hermosas de la teoría de la representación.

Gracias

Answer 1

¡Riemann-Roch para la variedad bandera es la fórmula del carácter de Weyl!

Más concretamente, dejemos que $L$ sea un haz de líneas amplio en $G/B$ correspondiente al peso $\lambda$ . Según Borel-Weil-Bott , $H^0(G/B,L)$ es $V_{\lambda}$ la representación irreducible de $G$ con mayor peso $\lambda$ y $H^i(G/B,L)=0$ para $i>0$ . Así que la característica holomorfa de Euler de $L$ es $\mathrm{dim} \ V_{\lambda}$ .

Como veremos, el cálculo de la característica holomórfica de Euler de $L$ de Hirzebruch-Riemann-Roch da la Fórmula del carácter de Weyl para $\mathrm{dim} \ V_{\lambda}$ .

Notación:

$G$ es un grupo algebraico semisimple simplemente conectado, $B$ a Borel y $T$ el máximo toro en $B$ . Las álgebras de Lie correspondientes son $\mathfrak{g}$ , $\mathfrak{b}$ , $\mathfrak{t}$ . El grupo de Weyl es $W$ la función de longitud en $W$ es $\ell$ y las raíces positivas son $\Phi^{+}$ . Simplificará muchas señales más tarde para tomar $B$ para ser un Borel inferior por lo que los pesos de $T$ actuando en $\mathfrak{b}$ son $\Phi^{-}$ .

Necesitaremos anotaciones para los siguientes objetos: $$\rho = (1/2) \sum_{\alpha \in \Phi^{+}} \alpha.$$ $$\Delta = \prod_{\alpha \in \Phi^{+}} \alpha.$$ $$\delta = \prod_{\alpha \in \Phi^{+}} (e^{\alpha/2}-e^{-\alpha/2}).$$

Viven respectivamente en $\mathfrak{t}^*$ en el anillo polinómico $\mathbb{C}[\mathfrak{t}^*]$ y en el anillo de la serie de potencia $\mathbb{C}[[\mathfrak{t}^*]]$ .

Geometría de las variedades bandera

Cada paquete de líneas $L$ en $G/B$ se puede hacer $G$ -equivariante de forma única. Escribiendo $x$ para el punto $B/B$ el Borel $B$ actúa sobre la fibra $L_x$ por algún personaje de $T$ . Se trata de una biyección entre haces de líneas en $G/B$ y personajes de $T$ . Tomando las clases de Chern de los haces de líneas se obtienen clases en $H^2(G/B)$ . Esto se extiende a un isomorfismo $\mathfrak{t}^* \to H^2(G/B, \mathbb{C})$ y un suryecto $\mathbb{C}[[\mathfrak{t}^*]] \to H^*(G/B, \mathbb{C})$ . A menudo abusaremos de la notación identificando una serie de potencias en $\mathbb{C}[[\mathfrak{t}^*]]$ con su imagen en $H^*(G/B)$ .

Necesitaremos conocer las raíces de Chern del haz cotangente a $G/B$ . De nuevo escribiendo $x$ para el punto $B/B$ el Borel $B$ actúa sobre el espacio tangente $T_x(G/B)$ por la acción adjunta de $B$ en $\mathfrak{g}/\mathfrak{b}$ . Como $T$ -representación, $\mathfrak{g}/\mathfrak{b}$ se rompe en una suma de representaciones unidimensionales, con caracteres las raíces positivas. Podemos ordenar estos sumandos para dar un $B$ -Filtración equivariante de $\mathfrak{g}/\mathfrak{b}$ cuyos cocientes son los correspondientes caracteres de $B$ . Traduciendo esta filtración en torno a $G/B$ obtenemos una filtración sobre el haz tangente cuyo gradiente asociado es la suma directa de haces de líneas indexados por las raíces negativas. Así que las raíces de Chern del haz tangente son $\Phi^{+}$ . (Los signos de este párrafo se invertirían si $B$ eran un Borel superior).

El grupo de Weyl $W$ actúa sobre $\mathfrak{t}^*$ . Esto se extiende a una acción de $W$ en $H^*(G/B)$ . La forma más fácil de ver esto es utilizar el difeomorfismo entre $G/B$ y $K/(K \cap T)$ , donde $K$ es un subgrupo compacto máximo de $G$ el grupo de Weyl normaliza $K$ y $T$ por lo que da una acción sobre $K/(K \cap T)$ .

Necesitamos la siguiente fórmula, válida para cualquier $h \in \mathbb{C}[[\mathfrak{t}^*]]$ : $$\int h = \ \mbox{constant term of}\left( (\sum_{w \in W} (-1)^{\ell(w)} w^*h)/\Delta \right). \quad (*)$$ Dos comentarios: en el lado izquierdo, estamos considerando $h \in H^*(G/B)$ y utilizando la notación estándar que $\int$ significa "descartar todos los componentes que no estén en el grado superior e integrar". En el lado derecho, estamos trabajando en $\mathbb{C}[[\mathfrak{t}^*]]$ , como $\Delta$ es un divisor cero en $H^*(G/B)$ .

*Esquema de la prueba de `()` :* La acción de $w$ es la inversión o preservación de la orientación según el signo de $\ell(w)$ . Así que $\int h = \int (\sum_{w \in W} (-1)^{\ell(w)} w^*h) / |W|$ . Dado que la serie de potencias $\sum_{w \in W} (-1)^{\ell(w)} w^*h$ es alternativo, es divisible por $\Delta$ y debe ser de la forma $\Delta(k + (\mbox{higher order terms}))$ para alguna constante $k$ . Los términos de orden superior, multiplicados por $\Delta$ , todo se desvanece en $H^*(G/B)$ , por lo que tenemos $\int h = k \int \Delta/|W|$ . El lado derecho de $(\)$ es sólo $k$ .

Por el cálculo de la raíz de Chern anterior, la clase de Chern superior del haz tangente es $\Delta$ . Así que $\int \Delta$ es la característica (topológica) de Euler de $G/B$ . El Descomposición de Bruhat de $G/B$ tiene una celda par por cada elemento de $W$ y ninguna célula impar, por lo que $\int \Delta = |W|$ y hemos demostrado la fórmula $(*)$ .

El cálculo

Ya tenemos todos los ingredientes. Considere un paquete de línea amplia $L$ en $G/B$ correspondiente al peso $\lambda$ de $T$ . El carácter Chern es $e^{\lambda}$ . HRR nos dice que la característica holomórfica de Euler de $L$ es $$\int e^{\lambda} \prod_{\alpha \in \Phi^{+}} \frac{\alpha}{1 - e^{- \alpha}}.$$ Las manipulaciones elementales muestran que esto es $$\int \frac{ e^{\lambda + \rho} \Delta}{\delta}.$$

Aplicando $(*)$ y observando que $\Delta/\delta$ se fija en $W$ Esto es $$\mbox{Constant term of} \left( \frac{1}{\Delta} \frac{\Delta}{\delta} \sum_{w \in W} (-1)^{\ell(w)} w^* e^{\lambda + \rho} \right)= $$ $$\mbox{Constant term of} \left( \frac{\sum_{w \in W} (-1)^{\ell(w)} e^{w(\lambda + \rho)}}{\delta} \right).$$

Dejemos que $s_{\lambda}$ sea el carácter del $G$ -irrepública con mayor peso $\lambda$ . Por la fórmula del carácter de Weyl, el término entre paréntesis es $s_{\lambda}$ como elemento de $\mathbb{C}[[\mathfrak{t}^*]]$ . Más concretamente, un carácter es una función sobre $G$ . Restringir a $T$ y se retira por la exponencial para obtener una función analítica en $\mathfrak{t}$ . La serie de potencias de esta función es la expresión entre paréntesis. Tomar el término constante significa evaluar este carácter en el origen, por lo que obtenemos $\dim V_{\lambda}$ , según se desee.