Deje que la secuencia $s_n$ esté definida por $s_1$ = 1, $s_{n+1}$ = $\frac{1}{4} (2s_n + 5)$ para n $\in $ $\mathbb{N}$. Lo siguiente es mi demostración y debajo de ella, mis preocupaciones.
Prueba
(1) Probaremos que $s_n$ es creciente por inducción.
Esto es $s_n \leq s_{n+1}$ para todo n $\in \mathbb{N}$.
Ya que $$s_1 = 1 < s_2 = \frac{1}{4}(2(1)+5) = \frac{7}{4}$$
Ahora supongamos $s_k$ $\leq $ $s_{k+1}$
Entonces $$s_{k+2} = \frac{1}{4} (2s_{k+1} + 5) \geq \frac{1}{4} (2s_k +5) = s_{k+1}$$
Por lo tanto, $s_n$ es una secuencia monótona porque es creciente.
(2a) Probaremos que $s_n$ está acotada por arriba.
Es decir, encontrar $M \in \mathbb{R}$ tal que $s_n \leq M$ para cada $n \in \mathbb{N}$.
Ahora, intentaremos probar que $20$ es una cota superior.
Ya que $s_1 = 1 < 20$
Supongamos que $s_k < 20$, entonces $$s_{k+1} = \frac{1}{4}(2s_k + 5) < \frac{1}{4}(2(20) + 5) = \frac{45}{4} < 20. $$ Por lo tanto, $s_n < 20$ para cada n $\in \mathbb{N}$.
Por lo tanto, $s_n$ está acotada por arriba.
(2b) Probaremos que $s_n$ está acotada por abajo.
Es decir, encontrar $M \in \mathbb{R}$ tal que $s_n \geq M$ para cada $n \in \mathbb{N}$.
Ahora, intentaremos probar que $0$ es una cota inferior.
Ya que $s_1 = 1 > 0$
Supongamos que $s_k > 0$, entonces $$s_{k+1} = \frac{1}{4}(2s_k + 5) > \frac{1}{4}(2(0) + 5) = \frac{5}{4} > 0. $$
Por lo tanto, $s_n > 0$ para cada n $\in \mathbb{N}$.
Por lo tanto, $s_n$ está acotada por abajo.
Por lo tanto $s_n$ está acotada.
Preocupaciones
Quiero confirmar si hice mi Inducción correctamente. Sin embargo, mi principal preocupación está en 2b.
