Es bien sabido que en la teoría de Dirac el derivado del tiempo de $P_i=p_i+A_i$ operador (donde $p_i=∂/∂_i$, $A_i$ - EM campo vector potencial) es un análogo de la fuerza de Lorentz:
$\frac{dP_i}{dt} = e(E_i+[v×B]_i)$
Por otra parte, en la teoría clásica tenemos la misma ecuación para $p_i$ $P_i$. ¿Cómo es que el efecto de $A_i$ en la teoría de Dirac se desvanece en el límite clásico?
He encontrado a la pregunta clara y una especie de importante para este pedazo de aprendizaje acerca del magnetismo en la mecánica cuántica; el único problema es que asume una respuesta incorrecta a la pregunta.
Nada está desapareciendo; de hecho, sería muy malo si un determinado plazo, tales como $\vec v\times \vec B$ evaporado sin dejar rastro, mientras que tomando el límite clásico. Sin embargo, uno debe ser cuidadoso acerca de la mecánica cuántica conmutadores para ver que todo es válido.
El pleno de la mecánica cuántica (no relativista) de Hamilton (que puede ser obtenida como el no-límite relativista de la ecuación de Dirac) es $$ H = \frac{1}{2m}(\vec p+ \vec A)^2 + V(\vec x)$$ donde $V(\vec x)$ principalmente contiene el potencial electrostático y genera la fuerza eléctrica $e\vec E = -i\nabla \Phi$ en una forma que buscar polémica. El problema se localiza en los términos que contengan $\vec A$ o de sus derivados. Seguí los convenios para la normalización y signo de $\vec A$ a de ser igual a la tuya aunque es una extraña convención: a uno le suelen añadir el factor de $q$ o $e$ delante de $\vec A$, demasiado.
En estos convenios de la suya, $\vec p = -i\hbar \vec \nabla$, como se escribió correctamente. Sin embargo, este objeto no es el habitual $m\vec v$. En su lugar, el total $\vec P = \vec p + \vec A$ es igual a $m\vec v$, un múltiplo de la velocidad. Este es usualmente denotado como $\vec p$ en no-física cuántica, pero está claro que necesitamos para asignar a $\vec P$: en el límite, una vez más, la costumbre de no-quantum impulso es $\vec P$, no $\vec p$: $\vec P$ es el indicador de covariante, $\vec p$ no, y el no-cuántica de momentum de una partícula es claramente el indicador de covariante de modo que no puede ser $\vec p$.
De acuerdo a la mecánica cuántica, calcular el tiempo de derivados de $P_i$ (el impulso, mientras calcula directamente a partir de la velocidad), debemos calcular $1/(-i\hbar)$ veces el conmutador de $P_i$ con el Hamiltoniano (la de Heisenberg ecuaciones de movimiento). El colector de $P_i$$V(x)$, el potencial electrostático de la energía, nos da la habitual fuerza eléctrica.
Sin embargo, también hay que añadir que el colector de $P_i$ con el primer término de la Hamiltoniana que es $P_j P_j / 2m$. Es no cero debido a que los diferentes componentes de $P_j$ no conmuta con el uno al otro. En su lugar, $$ \frac{1}{2m} [P_i,P_j P_j] = \frac{1}{m} [P_i,P_j] P_j + {\rm subleading\,\,in\,\,}\hbar $$ El colector de $[P_i,P_j]$ es distinto de cero debido a que $P_i$ depende de $\vec p$$\vec x$: los dos minúsculas objetos son los objetos con la habitual simples relaciones de conmutación. Tenemos $$ [P_i,P_j] = [p_i,A_j] - [p_j,A_i] $$ en sus convenios. Se puede ver que los conmutadores en el lado derecho no son otra cosa que $-i\hbar$ los tiempos de los componentes de ${\rm curl} \vec A = \vec B$, más precisamente,$\epsilon_{ijk}B_k$. Este es multiplicado por $P_j/m = v_j$ por encima, por lo que el plazo total en el colector claramente te $\epsilon_{ijk}v_j B_k = (v\times B)_i$, que es, después de $-i\hbar$ se cancela entre el colector y el factor en la ecuación de Heisenberg (que me cuenta este factor) – exactamente la fuerza magnética. De nuevo, la convención habitual tendría la carga de la $q$ frente a ella, pero he seguido su convenciones para la normalización de $\vec A$.
Sin embargo, el calculado correctamente límite clásico, obviamente no generar y tiene que generar la plena fuerza de Lorentz, incluyendo el campo magnético de la pieza. El general signo de $\vec A$ y la fuerza de Lorentz que no estaba seguimiento muy cuidadosamente anterior, pero créanme que funciona (y de trabajo) así, cuando el cálculo se hace a la perfección.
Porque Murod repitió su o sus dudas en el caso relativista, permítanme volver a ejecutar la derivación anterior para el pleno relativista de la ecuación de Dirac. Su Hamiltoniano es $$ H = \gamma_0 (P^i \gamma_i - m + A_0) $$ Tenga en cuenta que si lo multiplicamos por $\gamma_0$ y mover todo para el mismo lado, se obtiene la simple y uniforme operador $P^\mu \gamma_\mu -m$ que debe aniquilar a la Dirac spinorial de la función de onda. $A_0$ es el potencial eléctrico – normalmente uno escribe $q$ explícitamente en frente de este período.
El colector $[H,P^i]$ que es lo que determina el cambio en el momentum de un relativista clásica (no cuántica) de las partículas, incluso a pesar de que esta energía-impulso vector se denomina a veces $p_\mu$ en no-cuántica relativista y la física de partículas. Sin embargo, este objeto viene desde el límite (y debe ser identificado con) $P_\mu$. De nuevo, el colector con $A_0$ produce la fuerza eléctrica. El colector de $P^i$ $P^j\gamma_j$ produce la fuerza de Lorentz, excepto que $\gamma_j$ está aquí en lugar de $v_i$. Pero está bien, $\gamma^\mu$ actúa sobre la Dirac spinors como la velocidad 4-vector. Tenga en cuenta que $\gamma^\mu$ es formalmente un vector que corresponde a una unidad de tiempo como vector y debe ser la velocidad, porque es la única gauge invariante en el espacio-tiempo de la dirección escogida por el (rápidamente oscilante) plano de onda. Así, en el caso relativista, la derivación de la no-cuántica de la ecuación de la partícula es casi idéntico, sólo con $v^\mu$, expresado en la matriz de $\gamma^\mu$ en lugar de $\vec P / m$, una parte de la razón por la ecuación de Dirac se las arregla para ser un primer orden de la ecuación (por el precio de tener muchos componentes y matrices).
El question(v1) parece ser causado por un malentendido. Que $\vec{p}^{kin}=\gamma m_0 \vec{v}$ denota el impulso cinético (también conocido como el impulso mecánico) y que $$\vec{p}^{can}~=~\vec{p}^{kin}+q\vec{A}$ $ denotan el ímpetu canónico. Quantum mecánicamente, $$\vec{p}^{can}~=~\frac{\hbar}{i}\vec{\partial}.$ $
La ley de la fuerza de Lorentz
$$ \frac{d\vec{p}^{kin}}{dt}~=~ q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) $$
se aplica también para el caso clásico, véase por ejemplo, Landau y Lifshitz, Vol.2, capítulo de la teoría clásica de campos, 3.
Como Qmechanic ya se señaló: con el fin De obtener la cinética impulso que tienen que tomar los derivados (que le dan el canónica de impulso) y, a continuación, reste la interacción con $A^\mu$.
Así que todo está bien y la ecuación de Dirac exactamente reproduce la clásica resultado. Usted puede obtener una comprensión más profunda de este si se escribe de la fuerza de Lorentz de una manera más avanzada mediante el tensor de campo electromagnético.
$\frac{\partial j^\mu}{\partial \tau} ~~=~~ \frac{q}{mc}\,F^{\mu}_{~\nu}\,j^\nu~$
Que las parejas el E campo con el impulso de generadores de K y el campo B con la rotación de los generadores de J
$ F^{\mu}_{~\nu} ~~=~~ \Big(\,\mathsf{E}^i\,\hat{K}^i + \mathsf{B}^i\,\hat{J}^i\,\Big) \ =\ \izquierdo( \begin{array}{rrrr} ~\ 0\ \ & ~~\mathsf{E}_x & ~~\mathsf{E}_y & ~~\mathsf{E}_z \ \\ ~ \mathsf{E}_x & \ 0\ \ & ~~\mathsf{B}_z & - \mathsf{B}_y \ \\ ~ \mathsf{E}_y & - \mathsf{B}_z & \ 0\ \ & ~~\mathsf{B}_x \ \\ ~ \mathsf{E}_z & ~~\mathsf{B}_y & - \mathsf{B}_x & \ 0\ \ \ \end{array} \right)$
Para spinors el equivalente a la interacción generador de evolución en el tiempo es:
${\cal F}^\mu_{~\nu}\,\varphi ~=~ \left(\,\vec{E}\cdot\hat{\mathbb{K}} + \vec{B}\cdot\hat{\mathbb{J}}\,\right)\varphi$
$\mathbb{K}^i ~=~ -\tfrac12\,\gamma^i\gamma^o, ~~~~~~~~~~ \mathbb{J}^i ~=~ \tfrac{i}{2}\,\gamma^5\gamma^i\gamma^o$
De nuevo el campo eléctrico aumenta mientras que el campo magnético gira.
La clásica de la evolución en el tiempo debido a la clásica tensor de campo electromagnético $F$ operativo en el actual es exactamente la misma que cuando la Spinor campo tensor ${\cal F}$ opera en el spinor.
$\exp(F^{\mu}_{~\nu}\,t)\,\bar{\varphi}\,\gamma^\nu\varphi ~~=~~ \overline{\Big(\exp({\cal F}^\mu_{~\nu}\,t)\varphi\Big)}\,\gamma^\mu \, \Big(\exp({\cal F}^\mu_{~\nu}\,t)\varphi\Big)$
Si usted trabaja fuera de la expansión de la serie de la exponencial de las funciones que se pueden encontrar todo tipo de bellezas como.
$\begin{aligned} &\dot{\bar{\varphi}}\gamma^\mu\dot{\varphi} &=~~~ &\tfrac12\,T^\mu_{~\nu}~\bar{\varphi}\,\gamma^\nu\varphi \\ &\dot{\bar{\varphi}}\gamma^5\gamma^\mu\dot{\varphi} &=~~~ &\tfrac12\,T^\mu_{~\nu}~\bar{\varphi}\,\gamma^5\gamma^\nu\varphi \\ &\dot{\bar{\varphi}}~\mathbb{K}^\mu\,\dot{\varphi} &=~~~ &\tfrac12\,T^\mu_{~\nu}~\bar{\varphi}\,\mathbb{K}^\nu\,\varphi \\ &\dot{\bar{\varphi}}~\mathbb{J}^\mu\,\dot{\varphi} &=~~~ &\tfrac12\,T^\mu_{~\nu}~\bar{\varphi}\,\mathbb{J}^\nu\,\varphi \\ \end{aligned}$
Donde T es la simétrica de la tensión tensor de energía del campo electromagnético.
El plazo ${\cal F}^\mu_{~\nu}\,\varphi$ es sólo el plazo adicional que real ocurre si la plaza de la ecuación de Dirac con la interacción. (aunque su papel no es generalmente mal interpretado) el cuadrado de La ecuación de Dirac contiene el segundo orden de la derivada en el tiempo por lo que debe incluir un término que representa la spinor aumenta y spinor gira debido a que el campo electromagnético. El Klein Gordon ecuación no necesita de tal plazo, ya que describe un campo escalar y escalares son por definición invariante de Lorentz.
Saludos, Hans
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
