Confundido sobre la función de Cantor y medida del conjunto de Cantor

Question

OK, así que sé que la medida de Lebesgue de la ternaria Cantor fijado es $0$.

Sin embargo, en la clase el profesor había mencionado brevemente Si construimos un % de la medida de Lebesgue-Stieltjes $\mu$de la función de Cantor, entonces $\mu(C) = 1$.

¿No entiendo por qué esto es cierto, alguien puede por favor explicar?

Answer 1

El punto aquí es que hay dos medidas diferentes en el conjunto de Cantor $C$:

1. Viendo el conjunto de Cantor como un subconjunto de a $\mathbb{R}$, no es la medida de Lebesgue $m_1$ que da el conjunto de Cantor medida de 0.

2. Viendo el conjunto de Cantor como el conjunto $2^{\mathbb{N}}$ de todas las infinitas secuencias binarias, la "moneda buena" medida $m_2$ se define de modo que para cada una de las $n \in \mathbb{N}$$i \in \{0,1\}$, la $\{ f \in 2^{\mathbb{N}} : f(n) = i\}$ tiene una medida de $1/2$. Esta medida es también llamado el Hausdorff medida de la dimensión de $\log(2)/\log(3)$ donde $\log(2)/\log(3)$ es la dimensión de Hausdorff del conjunto de Cantor $C$.

El Cantor de la función $g(x)$ está definido de tal forma que $g(x) = m_2([0,x) \cap C)$. Esto es sólo la función de distribución acumulativa de $m_2$, pero ahora hemos vuelto a ver $C$ como un subconjunto de la recta real.

Answer 2

La función de Cantor es constante en cada uno de los intervalos abiertos que constituye el complemento del conjunto de Cantor. La distribución pone cero masa en la Unión de estos intervalos abiertos. Esto da a $\mu([0,1]\setminus C)=0$, que $\mu(C)=1$.