Adivinar un número oculto en un cubo

Question

Usted y su amigo se da una lista de N distintos números enteros y se dijo a este:

Seis diferentes números enteros de la lista son seleccionados al azar y se colocan una a cada lado de un cubo. El cubo se coloca en el medio de una sala rectangular en la parte delantera de su única puerta, con una cara de tocar el suelo, sus 6 lados paralelos a las paredes de la habitación. Tu amigo debe entrar en la habitación y se permite modificar la orientación del cubo, con la restricción de que después de su en el mismo lugar, con una cara de tocar el suelo y sus 6 lados mantienen paralelas a las paredes de la habitación. Su amigo entonces será sendt de distancia, después de lo cual usted puede entrar en la habitación y se permitió observar el 5 caras visibles del cubo.

¿Cuál es el mayor N que garantiza que usted pueda ser capaz de determinar el número en la parte inferior del cubo y qué debe instruir a su amigo a hacer con el cubo para que el N?

N=29 es posible ver! todavía en la necesidad de la estrategia de http://mathoverflow.net/questions/52541/hard-cube-puzzle

Answer 1

Un sencillo límite superior es $N=29$. Para un determinado $N$, que están tratando de seleccionar una de las posibles asignaciones de números de los seis lados (arriba a la rotación del cubo), de los cuales hay $$ {N \elegir 6}\frac{6!}{24} = \frac{N!}{24(N-6)!}. $$ El número de estados diferentes que usted puede ver al entrar en la habitación, por otro lado, es $$ {N \elegir 5}5! = \frac{N!}{(N-5)!} = \frac{N!}{(N-5)(N-6)!}. $$ El número de salidas (es decir, las asignaciones de números al cubo) es mayor que el número de entradas (es decir, los diferentes estados que puede ver) cuando $N-5 > 24$, y así no puede haber un surjective asignación de entradas a las salidas, a menos que $N \le 29$.

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Un límite inferior de $N=18$ está dado por la siguiente estrategia. Tu amigo va a colocar el cubo de manera que la mayor cara y su vecino más grande son visibles. Hay 16 maneras de orientar el cubo, distinguibles por las caras visibles: 4, donde el más grande de la cara está en la parte superior; 4 donde su vecino más grande está en la parte superior; y 8, en donde la más grande de la cara y su vecino más grande está en el lado. El fin de estos 16 arbitrariamente por adelantado, correspondiente a los números enteros $0$ a través de $15$. Del mismo modo, el rango de los 16 números que no son iguales a la más grande de la cara o de su vecino más grande, de$0$$15$. Su amigo le coloque el cubo en la posición correspondiente a la suma de los otros cuatro caras' filas, módulo 16. Restando las filas de las tres caras se puede ver, se puede deducir que el rango, y por lo tanto el valor, de la cara oculta.