$p(x)$ Es un polinomio con coeficientes enteros y que $p(a)=1$ % entero $a$demostrar que $p(x)$ tiene no más de dos raíces integradas.

Question

$p(x)$ Es un polinomio con coeficientes enteros y que $p(a)=1$ % entero $a$demostrar que $p(x)$ tiene no más de dos raíces integradas.

Has intentado una prueba por contradicción suponiendo que $p(x)$ tiene tres o más raíces, pero no has conseguido en cualquier lugar en este. ¡Se agradecería ayuda!

Answer 1

Creo que la pregunta original (donde coeficientes no necesitan ser integrados) es falsa. Un ejemplo contrario sería

$$f(x)=(x -(a-1))(x-(a-2))(x-(a-3))\left(x-\left(a-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(a-\frac{1}{3}\right)\right)$$

Cuenta con tres distintas raíces integral $a-1,a-2,a-3$, y también satisface $f(a)=1$.

Answer 2

Para que esto se cumpla, es necesario especificar que $p$ tiene coeficientes enteros: sin esta suposición, $p(x) = \frac16x(x-1)(x+1)$ es un contraejemplo, con raíces en$-1,0,$$1$, pero $p(2)=1$.

Supongamos que un polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros tiene tres o más distintos integral raíces. Esto significa que $p(x) = (x-a_0)(x-a_1)(x-a_2)q(x)$, e $q(x)$ también tiene coeficientes enteros (y es por esto que toma valores enteros). Para $p(x)$ a la igualdad de $1$ algunos $x$, luego tenemos tres casos:

• Al menos dos de $x-a_0,x-a_1,$ $x-a_2$ son igual a $-1$, y la tercera y $q(x)$ son igual a $1$ o $-1$

• $q(x)$ y uno de $x-a_0,x-a_1,$ $x-a_2$ son igual a $-1$, y los otros dos son igual a $1$.

• Todos los cuatro de los factores son iguales a $1$.

Esto es debido a que la única manera de escribir $1$ como producto de cuatro enteros es $$1 = (-1)^4 = (-1)^2 \cdot (1)^2 = (1)^4.$$

En todos los tres de estos casos se ha $x-a_i = x-a_j$ algunos $i\neq j$, lo $a_i = a_j$ y las raíces no son distintas.