¿Por qué no todas las integrales son cero?

Question

si empezamos a axiomar el área para ser un mapa de una colección de puntos en un plano al conjunto de números reales, esto es: a: M → R S↦a(S), donde S es el conjunto de puntos como se ha mencionado anteriormente y M es la colección de conjuntos S (conjuntos medibles..) . Indicando los siguientes axiomas:

i) a(S) no es negativo para cada S

ii) Si S y T son elementos de M, entonces S∪T y S∩T son también miembros de M y: a(S∪T) = a(S) + a(T) - a(S∩T)

(iii) Cada retángulo R es miembro de M y si h y k son lados de R entonces a(R)= k.h

--> Finalmente, con esto, si queremos medir un área de cualquier cosa, es decir, un retángulo, necesitamos definir el conjunto de todos los puntos que componen esta cosa, así que por ejemplo si integramos el área del retángulo con los lados h y k definimos el conjunto

                A={(x,y):(0≤x≤h ^ 0≤y≤k)} what by the axioms: a(A)=h.k

pero si pensamos que A como unión de líneas horizontales o verticales por ejemplo A siendo la reunión de todas las líneas C={(x,t):0≤x≤h} donde t obedece 0≤t≤k y es diferente para cada línea, pero pensando de esta manera nos lleva a que a(A) es igual a la suma de todas las áreas a(C) para todas las líneas que componen A, pero cada área a(C) es igual a cero con lo que implica que a(A)=0 lo que es claramente absurdo!

Mi pregunta es ¿dónde está el fallo en este procedimiento?

Answer 1

¡Esta es una buena pregunta! A lo que se refiere es a la aditividad de la zona. Ciertamente queremos que el área de una unión (disjunta) de dos regiones sea la suma de las áreas de las regiones, pero ¿qué pasa con las uniones infinitas? ¿Qué pasa con incontable ¿Sindicatos?

Si queremos que el área sea totalmente aditivo - es decir, el área de una unión disjunta arbitraria $\bigsqcup_{i\in I} A_i$ es la suma de las áreas, $\sum_{i\in I} m(A_i)$ - entonces tienes razón: si queremos que los puntos tengan área cero, esto implica que cada tiene un área cero. Pero no necesitamos que el área sea totalmente aditiva. De hecho, el axioma que has escrito sólo nos permite demostrar finito aditividad.

Por lo general, asumimos algunos aditividad infinita - específicamente, contable aditividad: si $\{A_i: i\in\mathbb{N}\}$ es una colección contable de conjuntos disjuntos, $m(\bigcup A_i)$ es $\sum m(A_i)$ . Resulta que esto sí no llevan a que todo tenga medida cero - esto es básicamente una elaboración del teorema de Cantor de que el conjunto de los números reales es incontable.

Ahora bien, se podría preguntar: desde un punto de vista filosófico, ¿qué justifica la aditividad contable frente a la aditividad total? No voy a entrar en eso aquí, ya que es una larga historia; pero espero que lo que he escrito hasta ahora explique cómo podemos tener una rica teoría de áreas, sin colapsar todo.