Encontrar un mínimo de $x^2+y^2$ bajo la condición $x^3+3xy+y^3=1$

Question

Como en el título, he intentado encontrar un máximo y un mínimo de $x^2+y^2$ $x^3+3xy+y^3=1$ sostiene. No es demasiado duro mostrar que $x^2+y^2$ no tiene ningún máximo, pero no puedo encontrar un mínimo. Multiplicador de Lagrange da un cálculo sucio por lo que no puedo manejarlo. ¿Hay alguna forma elegante se encuentra? Gracias por cualquier ayuda.

p.d.: Lo siento. Hacer un error en el $xy$-coeficiente.

Answer 1

Teniendo en cuenta que $$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$ $ y $$(x+y)^3-1=(x+y-1)\left[(x+y)^2+(x+y)+1\right]$ $ da % $ $$x^3+3xy+y^3=1 \\\\ \implies\ (x+y)^3-1-3xy(x+y)+3xy=0 \\\\ \implies\ (x+y-1)\left[(x+y)^2+(x+y)+1-3xy\right]=0 \\\\ \implies\ (x+y-1)(x^2+y^2-xy+x+y+1)=0$lo $x+y=1$ o $x^2+y^2-xy+x+y+1=0$.

Tratar este último como una ecuación cuadrática en $x$ da su discriminante como $(y-1)^2-4(y^2+y+1)=-3(y+1)^2$; así que existe una solución real sólo cuando $y=-1$, en que valor $x=-1$. Esto da $x^2+y^2=(-1)^2+(-1)^2=2$.

En cuanto a $x+y=1$, queremos que el círculo de $x^2+y^2=r$ $(r\ge0)$ a ser tangente a esa recta. Esto ocurre en $x=y=\dfrac12$, que $r_{\min}=\left(\dfrac12\right)^2+\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac12$.

Por lo tanto, el valor mínimo es %#% $ #%

Answer 2

$$x^3+3xy+y^3-1=(x+y-1)(x^2+y^2-xy+x+y+1)=0$$

Lo $y=1-x$ o $(x,y)=(-1,-1)$

Éste sustituía en % da $x^2+(1-x)^2$o $2$ reducir al mínimo. Teniendo en cuenta el primer simple cálculo nos da que $\frac{dy}{dx}=2x-2(1-x)=4x-2$. El parámetro igual a cero % de da $x=y=\frac{1}{2}$como un posible mínimo/máximo. Mirando el segundo % derivado $\frac{d^2y}{dx^2}=4$demuestra que es un mínimo. Evaluación da $x^2+y^2=\frac{1}{2}$ que es menor que el valor en $(x,y)=(-1,-1)$ por lo que el valor mínimo es $\frac{1}{2}$ $(x,y)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$.