Argumento combinatorio para$1+\sum_{r=1}^{r=n} r\cdot r! = (n+1)!$

Question

Argumento combinatorio para$$1+\sum\limits_{r=1}^{r=n} \ r\cdot r! = (n+1)! La prueba algebraica es fácil como$r=(r+1)-1$.

Answer 1

Contamos el número de permutaciones de $1,2,3,\ldots, n+1$ en dos maneras. En primer lugar, es igual a $(n+1)!$.

Para llegar al otro recuento, dividido en casos basados en el tamaño de los segmentos iniciales de acuerdo con la identidad de permutación $[1,2,3,\ldots, n,n+1]$. Por ejemplo, $[1,2,4,3]$ está de acuerdo con $[1,2,3,4]$ para el primer $2$ lugares, mientras que $[2,4,1,3]$ está de acuerdo con $[1,2,3,4]$ para el primer $0$ lugares. Deje que el número inicial de lugares de acuerdo con la identidad del ser $i$. A continuación, el número de permutaciones de acuerdo con $[1,2,3,\ldots,n,n+1]$ para el primer $i$ lugares es $(n-i) \cdot (n-i)!$, ya que hay $(n-i)$ formas de elegir el $i+1$th lugar de la permutación, y $(n-i)!$ formas de reorganizar la última $n-i$ lugares. Esto es para$i = 0$$i = n$. Para $i = n+1$, la fórmula $(n-i)(n-i)!$ no funciona, sino que el número de maneras es sólo $1$. Así tenemos que el número total de permutaciones de $1, 2, \ldots, n+1$ es $$1 + \sum_{i=0}^n (n-i)(n-i)! = 1 + \sum_{i=1}^n r \cdot r!.$$

Por lo tanto, $$(n+1)! = 1 + \sum_{i=1}^n r \cdot r!.$$