¿Qué topología en $\operatorname{Spec}(R)$ nos habla de $R$?

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo con unidad. $\newcommand{\spec}{\operatorname{Spec}}\spec(R)$ denota el conjunto de todos los primos ideales en $R$, y puede ser topologized el uso de la topología de Zariski.

El año pasado hice un curso de álgebra conmutativa, y hemos tenido algunos ejercicios demostrando que $\spec(R)$ siempre $T_0$, y a veces es o no es $T_1$. Y me había gastado una buena cantidad de ciclos cerebrales en la comprensión de cómo la convergencia se parece en $\spec(\Bbb Z)$ (no porque alguien lo pide, yo sólo quería averiguarlo). En realidad, nunca iba a ninguna parte, más allá de un par de la tarea preguntas acerca de la posible estructura topológica de $\spec(R)$$\spec_\max(R)$.

Pero ahora me pregunto, ¿qué hace la topología nos dicen acerca de $R$? ¿El hecho de que una determinada red de ideales converge nos dice nada útil? O hay general de construcciones en álgebra, que se aprovechan de ciertas propiedades de la topología en $\spec(R)$ por una cosa u otra?

Answer 1

Edit. Fue preguntado ya antes en las matemáticas.Ver cómo la convergencia se ve como en la topología de Zariski.

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Hay un montón de conexiones entre las propiedades topológicas de $\mathrm{Spec}(R)$ y las propiedades algebraicas de la $R$. Ellos pueden ser encontrados en muchos introducción a la geometría algebraica o álgebra conmutativa, por ejemplo Atiyah del libro, Eisenbud del libro, EGA, etc. Pero la topología de no recuperar la totalidad de la estructura algebraica, ya que, por ejemplo, el espectro de un local artinian anillo se compone sólo de un único punto; más generalmente, $\mathrm{Spec}(R)$ es homeomórficos a $\mathrm{Spec}(R_{\mathrm{red}})$. Esto significa que la topología sólo puede "ver" el anillo del modulo nilpotents. Esta es la razón por la afín esquemas vienen equipados con la estructura de la gavilla, y son capaces de reconstruir el anillo completo. De todos modos, aquí está una lista de las conexiones:

1. $\mathrm{Spec}(R)$ es siempre espectral, es decir, es sobrio, cuasi-compacto, y tiene una base que consta de cuasi-compacto abrir los subconjuntos que es estable bajo las intersecciones.

2. $\mathrm{Spec}(R)$ es Hausdorff iff $\mathrm{Spec}(R)$ $T_1$ fib $\mathrm{dim}(R)=0$ (R. Gilmer, de Fondo y de preliminares en el cero-dimensional de los anillos, Cero-dimensional Comutative Anillos, Marcel Dekker, Nueva York, 1995, pp 1-13).

3. $\mathrm{Spec}(R)$ está conectado iff $0,1$ son la única idempotents de $R$. Más generalmente, si $X$ es un local rodeado de espacio, a continuación, $f \mapsto X_f$ es un bijection entre idempotents en $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ y clopen subconjuntos de a $X$.

4. No es un anti-isomorfismo entre los subconjuntos cerrados de $\mathrm{Spec}(R)$, y el radical ideales de $R$. De ello se desprende, por ejemplo, que el $\mathrm{Spec}(R)$ es noetherian como un espacio topológico iff cada ascendente de la cadena de radicales ideales de $R$ hace estacionario. Por ejemplo, $\mathrm{Spec}(R)$ es noetherian si $R$ es noetherian (pero no a la inversa).

5. En virtud de la anti-isomorfismo de arriba, la irreductible cerrado subconjuntos corresponden al primer ideales de $R$. De ello se desprende que la dimensión topológica de $\mathrm{Spec}(R)$ coincide con la dimensión de Krull de $R$.

6. El cerrado puntos de $\mathrm{Spec}(R)$ corresponden a los máximos ideales de la $R$. Por ejemplo, $\mathrm{Spec}(R)$ tiene un único punto cerrado iff $R$ es local.

7. El genérico puntos de $\mathrm{Spec}(R)$ corresponden a las mínimas primer ideales de $R$. De ello se desprende que $\mathrm{Spec}(R)$ es irreductible iff $R$ tiene sólo una mínima prime ideal iff $\mathrm{rad}(R)$ es un alojamiento ideal.

Observaciones adicionales:

(a) No todos los conectados afín esquema de trayectoria-conectado, consulte aquí.

(b) Más sofisticado propiedades topológicas se puede encontrar en las Pilas de Proyecto, ver la topología de las nociones de la catenaria, jacobson, edificable, adecuada, etc. y el álgebra de las propiedades correspondientes de los anillos.

(c) Convergente de las redes o de la secuencia no se utiliza tan a menudo en la geometría algebraica. Incluso la definición de una completa variedad (más generalmente adecuada morfismos) no se refiere a la noción habitual de completitud en espacios topológicos, sino a un más abstracto cuando la red es reemplazado por un $K$valores de punto, y su límite es sustituido por un $A$valores de punto, donde $A$ es un anillo de valoración y $K$ es su campo de fracciones. Al igual, la geometría algebraica necesidades de una forma más abstracta noción de Hausdorff de separación de bienes, es decir, que de separatedness, que puede ser caracterizado por la condición de que el resumen de los límites anteriormente son únicos iff existen. En general, uno tiene que ajustar a las nociones y técnicas de la topología y la geometría diferencial en el fin de aplicarlos a la geometría algebraica. A veces incluso la topología tiene que ser ajustado, por ejemplo, el Teorema de la Función Inversa se convierte en válido sólo en el etale topología.

Por supuesto, usted puede tratar de encontrar convergente de redes o secuencias (afín) los esquemas, pero en mi opinión esta no es la mejor manera de conseguir cómodo con ellos, y, probablemente, las redes no son muy útiles en este contexto, desde abrir conjuntos tienden a ser bastante grandes. Por ejemplo, una curva algebraica lleva el cofinite topología, además de un punto genérico, lo que implica que cada secuencia de pares de elementos distintos converge a cualquier punto.

Answer 2

La respuesta más simple es que, cuando $R=k[x_1,\ldots,x_n]$, $k$ algebraicamente cerrado, podemos identificar a $\spec R$$k^n$. Los elementos de $\spec_{\text{max}} R$ corresponden a los puntos de sí mismos, mientras que otros primos corresponden a algebraica irreducible de conjuntos; es decir, cero loci de polinomios irreducibles.

En resumen, $\spec$ convierte anillos en los objetos geométricos, y tanto la intuición geométrica y geométricas de las pruebas puede mantener incluso cuando $R$ no es un finitely generado álgebra sobre un campo. Por ejemplo, como un número teórico, siempre estoy mirando anillos de enteros, que son anillos de Dedekind, y me los imagino como curvas de $\spec k[x]$, donde los números primos se corresponden con los puntos. (Tomando la analogía más allá, y el pensamiento de arquímedes valores absolutos como aquellos puntos que no están en la curva, pero en su proyectivas de cierre lleva a otro muy fructífera de la avenida, pero demasiado lejos extraviados de la presente conversación.)

Si pensamos en $\spec$ de esta manera, conseguimos una más gruesa, cuasi-topológicos compactos espacio, que es justo lo suficientemente fina como para decir cosas como "un homomorphism $A\to B$ induce un mapa continuo $\spec B\to \spec A$.

He aquí un ejemplo de cómo esto puede ser útil: cuando $A$ es un dominio abierto pone en $\spec A$ son densos, y la imagen de un mapa continuo en un denso conjunto determina la imagen del mapa en todas partes. Desde una base de abiertos de conjuntos puede ser dado por $\spec A[\frac{1}{f}]$, esto ya es suficiente para demostrar la característica universal de la localización. Este tipo de densidad de los argumentos que aparecen todo el tiempo en la geometría algebraica.

Answer 3

No sé nada sobre convergencia en $\mathrm{Spec} \ R$ pero este es un ejemplo de lo que la topología nos dice acerca de $R$:

Teorema. $\mathrm{Spec} \ R$ se desconecta como un espacio topológico, si y sólo si $R \simeq A \times B$ es un producto de anillos.