¿Con qué rapidez crece la función$\displaystyle f(x)=\lim_{\epsilon\to0}\int_\epsilon^{\infty} \dfrac{e^{xt}}{t^t} \, dt $?

Question

Deje $x$ ser un número real positivo y $f(x):=\lim_{\epsilon\to0}\int_\epsilon^{\infty} \dfrac{e^{xt}}{t^t} \, dt $. ¿Qué tan rápido esta función crecer ? En otras palabras podemos encontrar un buen asíntota para$f(x)$$x$$+\infty$ ?

Podemos mostrar uno de estos dos límites converge a una constante :

A) $\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\ln(f(x))}{P(x)} $

B) $\lim_{x\to+\infty} \dfrac{f(x)}{P(x)} $

Para algunos polinomio $P(x)$ ?

Sé $f(z)$ es toda una función , así que he intentado usando series de Taylor.

Sin embargo, los derivados de la $f$ son de apariencia similar y por lo tanto no sé su tasa de crecimiento, ya sea !?

$$\frac{d f(x)}{d x^k} = \lim_{\epsilon\to0}\int_\epsilon^\infty \frac{e^{xt}}{t^{t-k}}\,dt.$$

Ya que por Taylor teorema necesito los derivados de la $f(x)$, así que estoy atascado en la forma de probar la tasa de crecimiento o el límite.

He considerado la sustitución de la integral con una infinita suma, pero que no funcionó para mí.

Asumo que es una forma de utilizar las integrales de contorno, pero no estoy seguro de cómo iba a funcionar.

Answer 1

Primero podemos reescribir la integral como

$$ f(x) = \int_0^\infty \exp\left\{x (t - t\log t\right\}\,dt. $$

La función de $g(t) = xt - t\log t$ tiene un máximo cuando $t = e^{x-1}$. Esto sugiere que el cambio de variables

$$ t = e^{x-1}(1+s), $$

que transforma nuestras integral en

$$ f(x) = \exp\left\{e^{x-1} + x - 1\right\} \int_{-1}^{\infty} \exp\left\{e^{x-1} \Bigl[s - s\log(1+s) - \log(1+s)\Bigr]\right\}\,ds. $$

(He encontrado este truco a ser muy útil. Yo lo aprendí al leer acerca de la asymptotics para la función Gamma y yo también lo utilizó en esta respuesta.) Cerca de $s=0$ hemos

$$ s - s\log(1+s) - \log(1+s) \sim -\frac{1}{2}s^2, $$

así que el método de Laplace rendimientos de inmediato

$$ \begin{align} &\int_{-1}^{\infty} \exp\left\{e^{x-1} \Bigl[s - s\log(1+s) - \log(1+s)\Bigr]\right\}\,ds \\ &\qquad \sim \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left\{-\frac{1}{2}e^{x-1}s^2\right\}\,ds \\ &\qquad = \sqrt{2\pi} e^{-(x-1)/2} \end{align} $$

como $x \to \infty$. Así

$$ f(x) \sim \sqrt{2\pi} \exp\left\{e^{x-1} + \frac{x-1}{2}\right\} $$

como $x \to \infty$. Si uno desea se podría obtener más de los términos asintóticos de expansión utilizando el método en esta respuesta. Por ejemplo, al incluir el término siguiente llegamos

$$ f(x) = \sqrt{2\pi} \exp\left\{e^{x-1} + \frac{x-1}{2}\right\} \left[1 + \frac{5}{24}e^{1-x} + O\a la izquierda(e^{-2}\right)\right] $$

como $x \to \infty$.