Confusión entre un elemento y su preimagen

Question

Deje $X$ a un y $\sim$ es una relación de equivalencia en $X$, por lo que el cociente conjunto $X/_\sim=\bigcup_{x\in X}{[x]}$ $[x]=[y]$ si y sólo si $x\sim y$.

Considerar el cociente mapa de $f:X\to X/_\sim\; ; \; x\mapsto [x]$.

Ahora tome un elemento $[x]\in X/_\sim$ , su preimagen es el conjunto $f^{-1}(\{[x]\})=\{z\in X\;|\; [z]= [x]\}=\{z\in X\;|\; z\sim x\}$

Estoy confundido porque la equivalencia de la clase $[x]$ de un elemento $x\in X$ se define como el conjunto de elementos de la $z\in X$ tal que $z\sim x$ y esta es la misma que la preimagen de $[x]$, de modo que es como hemos $f(x)=f^{-1}(\{f(x)\})$ !! Estoy confundido entre el $[x]$ y su preimagen, cual es la clase de equivalencia de a$x$, y por qué parece ser iguales?

Answer 1

El primero, y quizás el problema más profundo es en la primera línea.

$X/{\sim}$ es no la unión de las clases de equivalencia. Es el conjunto de clases de equivalencia. Más específicamente, $\bigcup_{x\in X}[x]=X$, mientras que el $X/{\sim}=\{[x]\mid x\in X\}$. Es un conjunto cuyos elementos son los subconjuntos de a $X$.

Para una función de $X$ $X/{\sim}$es una función de mapeo de puntos de $X$ a los subconjuntos de a $X$. Por lo tanto, la preimagen de un elemento en el rango es un subconjunto de a $X$, pero lo que es un elemento de la gama? Es un subconjunto de a $X$ nuevo.

Y por la definición del cociente de asignación, que, al final, la preimagen de $[x]$, como un elemento de la gama, es exactamente $[x]$ como un subconjunto del dominio.