Sobre la superficie de Riemann asociada a un germen analítico

Question

Me he tomado un pequeño curso en las superficies de Riemann, y hay una parte que todavía no entiendo (y he sido incapaz de encontrar una referencia que explica esto de una manera rigurosa y en detalle).

Se trata de la construcción de una superficie de Riemann asociada a una analítica de germen.

Por analítica germen, nos referimos a un par de $(z_0, (a_n)_{n \in \mathbb{N}})$ donde $z_0$ e las $a_i$ están en el plano complejo, y la serie de $\sum a_n (z-z_0)^n$ ha estrictamente positivo (pero normalmente finito) radio de convergencia.

A continuación, (sin entrar en detalles técnicos) de la superficie de Riemann asociada a un germen está conectado a un componente de ese germen en el espacio de toda la analítica de los gérmenes, equipado con una determinada topología. Tengo que define una superficie de Riemann.

Yo también entiendo que "intuitivamente", lo que se hace en los ejemplos clásicos : por ejemplo, la superficie de Riemann asociada a $(1,\log)$ es una especie de "espiral de la superficie", ya que cuando nos volvamos a cero, añadimos (si gira en sentido antihorario) $2 i \pi$ a, el director de determinación (por lo que hay countably muchas poleas).

En el caso de que el germen de la raíz cuadrada de $z_0=1$, es una de dos poleas de la superficie.

Sin embargo no tengo idea de cómo se van a determinar esto correctamente. En este ejemplo, yo sé que esta superficie es biholomorphic a $\mathbb{C}$ en el caso de que el registro pero no tengo idea de cómo probar que.

Puede alguien darme una referencia detallada o un esbozo de la prueba (pero con todos los argumentos clave) ?

Answer 1

Lo que está describiendo es más o menos de Weierstrass de la construcción de la superficie de Riemann de una multi-función con valores. Es muy intuitivo de la construcción, pero, como usted señala, no es conveniente hacer cálculos de hormigón. Si desea describir explícitamente la superficie de Riemann obtenidos por la continuación analítica de un determinado germen, no hay mucho remedio que volver a la forma en la que el germen se obtuvo - el comportamiento de una potencia de la serie en virtud de continuación analítica puede ser muy complicado y no puede ser fácilmente predijo simplemente mirando los coeficientes de $\{a_n\}$.

Por ejemplo, si desea mostrar que $\log z$ aumenta por $2\pi i$ con todo en contra de las manecillas vez de $z$ alrededor del origen, es mucho mejor ir de nuevo a la definición de $\log z$ en lugar de empezar desde el poder de expansión de la serie de su rama principal alrededor de $z=1$, aunque un ataque de fuerza bruta de cálculo es ciertamente posible. ¿Qué es $\log z$? Por definición, $\log z = \int_1^z dt/t$. Por supuesto, esto es sólo bien definido hasta la elección de la ruta de acceso de$1$$z$, lo que resulta en una ambigüedad de $2\pi i n$ en el valor de la función. Lo que vemos, en realidad, es que el $\log z$ está bien definido como una función en la universalización de la cobertura de la pinchado plano, tan pronto como se especifica su valor en cualquier punto dado. Esta universalización de la cobertura $E$ puede ser intuitivamente se piensa como un helicoidal, como usted señala. Y, como usted dice, es biholomorphic a $\mathbb C$. La función de $\log$, bien definido en $E$, es el isomorfismo que usted está buscando.

Answer 2

El problema es que se trata de AFAIK tratado en textos antiguos, los que siguen siendo influenciados por el primer libro de Weyl ("El concepto de una superficie de Riemann").

Puedes intentar por ejemplo

• George Springer: "Introducción a las superficies de Riemann", capítulo 3: "Superficie de Riemann de una función analítica"