Cómo calcular los siguientes determinantes (todos menos un$I$)

Question

¿Cómo calculo el determinante de las siguientes matrices$n\times n$

$ \ Left [\begin {matrix} 0 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & 0 & \ldots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & ... & 0 \end {matrix} \ right] $

Y la misma matriz, pero una de las columnas sustituidas sólo con 1s.

En la matriz anterior todos los elementos fuera de la diagonal son 1 y los elementos diagonales son 0.

Answer 1

$$D_n(a,b)= \begin{vmatrix} a & b & b & b \\ b & a & b & b \\ b & b & a & b \\ b & b & b & a \end{vmatrix}$$ ($n\times n$-matriz).

$$D_n(a,b)= \begin{vmatrix} a & b & b & b \\ b & a & b & b \\ b & b & a & b \\ b & b & b & a \end{vmatrix}$$

$$=[a+(n-1)b] \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ b & a & b & b \\ b & b & a & b \\ b & b & b & a \end{vmatrix}$$ $$=[a+(n-1)b] \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & a-b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a-b & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a-b \end{vmatrix}$$ $$=[a+(n-1)b](a-b)^{n-1} $$

(En el primer paso hemos añadido el resto de filas de la primera fila y, a continuación, "sacó" constante fuera de la determinante. A continuación, nos resta $b$-múltiples de la primera fila de cada una de las filas restantes.)

Usted está preguntando acerca de la $D_n(0,1)=(-1)^{n-1}(n-1)$.

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Si va a reemplazar una columna de a 1, puede utilizar este resultado para obtener el siguiente. (He calculado que para $n=4$, pero supongo que se puede generalizar este arbitrarias $n$.)

$$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} $$

Tenga en cuenta que estos dos son los factores determinantes del tipo que ya se manejan en la primera parte.

Answer 2

Este es un enfoque que utiliza el teorema determinante de Sylvester, que dice que para cualquier matriz rectangular de formas mutuamente transpuestas$A\in\mathrm M_{n,m}(K)$ y$B\in \mathrm M_{m,n}(K)$ tiene$$\det(I_n+AB)=\det(I_m+BA).$ $

Si$N$ es su matriz, entonces$-N=I_n-AB$ donde$A\in\mathrm M_{n,1}(K)$ es una matriz de una columna y$B$ es su transposición. Entonces $$ \ det (N) = (- 1) ^ n \ det (-N) = (- 1) ^ n \ det (I_1-BA) = (- 1) ^ n (1-n). $$

Answer 3

Sustituir el primer 0 $x$ y los otros ceros con $y$.

Ahora, su determinante es un polinomio en a $x$ $y$ con dominante plazo $xy^{n-1}$.

Si $y=1$, $n-1$ filas son iguales que de inmediato da $n-2$ independiente del núcleo vectores, por lo $(y-1)^{n-2}$ divide el determinante. Si $x=(n-1)/(y+n-2)$, entonces la suma de los $n-1$ líneas de fondo es un múltiplo de la primera línea, por lo $(x(y+n-2)-(n-1)$ divide el determinante.

Por lo tanto, el factor determinante es $(x(y+n-2)-(n-1))(y-1)^{n-2}$.

Deje $x=y=0$ conseguir $(-1)^{n-1}(n-1)$.

Deje $x=1$ $y=0$ conseguir $(-1)^{n-1}$.

Answer 4

Sea$E$ la matriz$(n\times n)$ - con todos y ponga$f_1:=(1,\ldots,1)$. Entonces$Ex=(f_1\cdot x)f_1$ para todos$x\in{\mathbb R}^n$. Dado que$A=E-I$ por lo tanto, tenemos

ps

Sea$$Ax\ =\ (f_1\cdot x)f_1 -x\qquad(x\in{\mathbb R}^n)\ .$ una base del complemento ortogonal de$(f_2,\ldots, f_n)$. Uno tiene

ps

y

ps

Por lo tanto, la matriz de$\langle f_1\rangle$ con respecto a la base$$Af_1=(f_1\cdot f_1)f_1 - f_1=(n-1)f_1$ es la matriz diagonal$$Af_i=(f_1\cdot f_i)f_1- f_i=-f_i\qquad(2\leq i\leq n)\ .$ y tiene determinante$A$.

Answer 5

Vamos a indicar que$A_n$ es esa matriz de orden$ n \times n $.

Restar cada una de las columnas multiplicadas por$1/(n-2)$ de la primera columna. Tu determinante entonces se convierte en:

$ | A_n | = \ left | \begin {matrix} \frac {n-1}{n-2} & 1 & \ldots & 1 \\ 0 & 0 & \ldots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 1 & ... & 0 \end {matrix} \ right | = \ Frac {n-1} {n-2} | A_ {n-1} | ps

Inductivamente obtiene ese$|A_n| = \frac{n-1}{n-2} \frac{n-2}{n-3}...\frac{2}{1}|A_2|=(n-1)|A_2| $.

Sin embargo,$|A_2|=-1 $ obtienes ese$|A_n|=1-n$.