Resolviendo estas dos ecuaciones simultáneamente

Question

Estoy teniendo dificultades para resolver estas dos ecuaciones simultáneamente. Estoy llegando a una ecuación muy larga ..

ps

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Answer 1

Sustituya los subíndices de$x$ y$y$.

Poner $u=x+2, v=y-5$.

Entonces las ecuaciones se convierten en$$(u-2)^2+(v+5)^2=(7\sqrt{2})^2 \qquad \cdots (1)$ $ y$$\sqrt{25+u^2}+\sqrt{4+v^2}=7\sqrt{2}\qquad \cdots (2)$ $

Cuadratura$(2)$ igual a$(1)$, es decir, $$ \begin{align}(25+u^2)+(4+v^2)+2\sqrt{(25+u^2)(4+v^2)}&=(u^2-4u+4)+(v^2+10v+25)\\ \sqrt{(25+u^2)(4+v^2)}&=-2u+5v\\ \end {align} $$

Cuadratura: $$ \begin{align} 100+4u^2+25v^2+u^2v^2&=4u^2-20uv+25v^2\\ (uv)^2+20uv+100&=0\\ (uv+10)^2&=0\\ uv&=-10 \Rightarrow v=-\frac{10}u\end {align} $$

Sustituyendo de nuevo en$(1)$: $$ \begin{align} (u-2)^2+(-\frac {10}u+5)^2&=98\\ \end {align} $$

Resolver numéricamente da $$ \begin{align}u&=-5, -2.6893, \quad \ \; 0.6752,\ 11.0142\\ v=-\frac {10}u &=\quad 2,\ \ 3.7184, \; -14.8104, -0.9079\\ x=u-2&=-7, -4.6893, \ -1.3248, \ \ \ 9.0142\\ y=v+5&=\ \ 7,\quad 8.7184, \ -9.8104, \ \ \ 4.0921 \end {align} $$

Comprobación por sustitución muestra que sólo los dos primeros conjuntos de números son válidos, por lo que la solución es$$(x,y)=(-7,7), (-4.6893, 8.7184)\qquad \blacksquare$ $

Answer 2

La solución para $x_{0}$ en la ecuación de $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = (7\sqrt{2})^{2}$ le da:

$x_{0} = \pm \sqrt{ 98 - y_{0}^{2}}$

Sustituyendo en la positiva para $x_{0}$ en la ecuación de $\sqrt{25 + (x_{0} + 2)^{2}} + \sqrt{4 + (y_{0} - 5)^{2}} = 7\sqrt{2}$, obtenemos:

$\sqrt{25 + (\sqrt{ 98 - y_{0}^{2}} + 2)^{2}} + \sqrt{4 + (y_{0} - 5)^{2}} = 7\sqrt{2}$

Si ampliamos la $(\sqrt{ 98 - y_{0}^{2}} + 2)^{2}$, obtenemos:

$98 - y_{0}^{2} + 4\sqrt{98 - y_{0}^{2}} + 4 = 102 - y_{0}^{2} + 4\sqrt{98 - y_{0}^{2}}$

Y conectando de nuevo en la expresión original da:

$\sqrt{25 + 102 - y_{0}^{2} + 4\sqrt{98 - y_{0}^{2}}} + \sqrt{4 + (y_{0} - 5)^{2}} = 7\sqrt{2}$

Combinando los términos semejantes se obtiene:

$\sqrt{127 - y_{0}^{2} + 4\sqrt{98 - y_{0}^{2}}} + \sqrt{4 + (y_{0} - 5)^{2}} = 7\sqrt{2}$

Ahora moviendo $\sqrt{4 + (y_{0} - 5)^{2}}$ en el otro lado de la ecuación y cuadrado ambos lados, se obtiene:

$127 - y_{0}^{2} + 4\sqrt{98 - y_{0}^{2}} = 98 - 14\sqrt{4 + (y_{0} - 5)^{2}} - (4 + (y_{0} - 5)^{2})$

La expansión de todo y combinando los términos semejantes se obtiene:

$35 - 10y_{0} + 4\sqrt{98 - y_{0}^{2}} = - 14\sqrt{4 + (y_{0} - 5)^{2}} $

El cuadrado ambos lados da otra vez:

$[35 - 10y_{0} + 4\sqrt{98 - y_{0}^{2}}]^{2} = 196(4 + (y_{0} - 5)^{2}) $

Después de la combinación de términos semejantes:

$1225 - 700y_{0} + 280\sqrt{98 - y_{0}^{2}} + 100y_{0}^{2} -80y_{0}\sqrt{98 - y_{0}^{2}} + 16(98 - y_{0})^{2} = 196(4 + (y_{0} - 5)^{2}) $

Además de simplificar se obtiene:

$154889 - 3836y_{0} + 280\sqrt{98 - y_{0}^{2}} + 116y_{0}^{2} -80y_{0}\sqrt{98 - y_{0}^{2}} = 784 + 196y_{0}^{2} - 1960y_{0} + 4900 $

Haciendo a un lado $0$ le da:

$149205 - 1876y_{0} + 280\sqrt{98 - y_{0}^{2}} - 80y_{0}^{2} -80y_{0}\sqrt{98 - y_{0}^{2}} = 0 $

Moviendo la raíz cuadrada al otro lado de la ecuación, se obtiene:

$149205 - 1876y_{0} - 80y_{0}^{2} = (80y_{0} - 280)\sqrt{98 - y_{0}^{2}} $

El cuadrado ambos lados, se obtiene:

$(149205 - 1876y_{0} - 80y_{0}^{2})^{2} = (80y_{0} - 280)^{2}(98 - y_{0}^{2}) $

En este punto, sólo este conectado en WolframAlpha para resolver por $y$. Se dio el aproximado de soluciones (que tendría que ser revisado.....):

$y_{0} = -9.89852, 1.97077, 5.09124, 9.88832, 3.47410 - 1.53347i$... (aproximaciones)

La moraleja de esta historia es que por cálculos a mano no, finalmente, conseguir que "la mejor" en el caso de que alguien quiere probarlas.

Answer 3

Esto no es una respuesta todavía, pero quizás ayude:

La primera ecuación representa un círculo de radio$7\sqrt{2}$ con centro$0$. La segunda ecuación es obviamente un conjunto acotado y simétrico alrededor de su centro alrededor de$(-2,5)$

Hice una trama rápida y podría haber una solución, pero parece ser no más de uno.

Answer 4

Utilice coordenadas polares$(x,y) = (-r \sin \theta, r \cos \theta)$ para obtener$r=\sqrt{98}$ y

$ \ Sqrt {98 \ cos ^ 2 \ theta- 2 \ sqrt {98} (5) \ cos \ theta (-2) ^ 2 (5) ^ 2} \\ sqrt {98 \ sin ^ 2 \ theta 2 \ sqrt {98} (-2) \ sen \ theta (-2) ^ 2 (5) ^ 2} = \ sqrt {98} $$

Numéricamente hay dos soluciones en$\theta=28.27437°$ y$\theta=45°$ para las soluciones

ps