Hom y sumas directas

Question

Sea$R$ un anillo (no necesariamente conmutativo).

Permita que$A$ sea un módulo$R$ - izquierdo. ¿Cuándo el functor$\text{Hom}(A,-)$ preserva las sumas directas - en la categoría de izquierda$R$ - módulos? Por ejemplo, esto es cierto cuando$A$ es libre y finitamente generado (EDIT: o finitamente generado en general, como sugiere Pierre-Yves).

¿Necesitamos siempre la condición finitamente generada?

Answer 1

Ha habido dos anteriores versiones incorrectas de la respuesta. Me disculpo por ellos, y gracias a Mariano por su amable y eficiente ayuda. Gracias también a Evariste!

Aquí están las declaraciones:

(1) Si $A$ es finitely generado, entonces, el functor $\text{Hom}_R(A,?)$ conserva directa sumas.

(2) Si hay un aumento de la secuencia de $(A_i)_{i\ge1}$ de la adecuada submódulos de cuya unión es $A$, entonces el functor $\text{Hom}_R(A,?)$ ¿ no conservar todo el directo sumas.

No sé si este tipo de secuencia $(A_i)_{i\ge1}$ existe siempre $A$ no es finitely generado. (Y estoy muy ansioso por saber si esto es cierto.)

La prueba de (1). Tenemos una natural $\mathbb Z$-lineal de la inyección
$$F:\bigoplus_i\ \text{Hom}_R(A,B_i)\a\text{Hom}_R(A,\oplus_i\ B_i).$$ Por otra parte $g\in\text{Hom}_R(A,\oplus_i\ B_i)$ es en la imagen de $F$ si y sólo si $g(A)$ está contenida en la suma de un número finito de $B_i$.

En particular, $F$ es bijective si $A$ es finitely generado.

La prueba de (2). El natural $R$-lineal mapa de $A$ a $\oplus\,A/A_i$ es no en la imagen de $F$.

EDIT. Aquí hay tres referencias:

http://ncatlab.org/nlab/show/coproduct-preserving+representable

La preservación de la directa sumas finitas y la generación de

http://mathoverflow.net/questions/59282/sums-compact-objects-f-g-objects-in-categories-of-modules/81333#81333