$P(z)$ Define un polinomio

Question

Supongamos que $f$ es analítica en un simplemente se conecta el dominio $D$ contiene distintos puntos de $z_1, z_2 ,\ldots,z_n $ y $\gamma$ es simple curva cerrada que encierra $z_1, z_2 ,\ldots,z_n $.

Set $w(z)= \prod _k_{=1}^n (z-z_k)$ . Demostrar que

$$P(z) =\int_{\gamma} \frac {f(\zeta)}{w(\zeta)} \frac{w(\zeta)-w(z)}{\zeta-z}d\zeta$$ defines a polynomial of degree $n-1$ satisfying $P(z_k) =f(z_k), k =1,2,3,\ldots,n.$

No sé qué pensaba yo soy supongamos que presentamos aquí. Lo que acabo de conocer es hacer de la fracción parcial de la $w(z)$. Luego me pegó no saber el hecho de que estoy usando aquí. Esto es en realidad un reciente y completo examen de la cuestión a la que yo no podía resolver. Mi profesor me dio un poco de pista, pero que también no ayuda. La idea de fracción parcial que salió de su boca. Pero no recuerdo lo que me dijo que hacer para completar el problema. Yo realmente desea ver el detalle de la solución del problema. Gracias de antemano.

Anexo

Parcial de la Fracción de $\frac{1}{w(\zeta)}= \frac {1}{\prod _k_{=1}^n (\zeta-z_k)}$ está dado por $$\frac {A_1}{\zeta-z_1}+\frac {A_2}{\zeta-z_2}+\cdots+\frac {A_n}{\zeta-z_n}$$

Donde cada una de las $A_i = \frac{1} {\prod_j_{=1}^n z_i-z_j} , j \neq i$

Lo siento, me perdí que no es igual a parte, no sé cómo acomodar a que en el producto, cualquier edición apreciado.

Answer 1

Tenga en cuenta que$$ \frac{w(\zeta) - w(z)}{\zeta - z} $$ is in fact a polynomial in $ (\ zeta, w)$ and therefore does not have any poles as a function of $ \ zeta% #% Z \ no \ in \ {z_1, \ dotsc, z_n \}$ . The only poles come from $ z_k$ in the denominator and they are located at $$. If $ $ Esto da la relación

{Z} {z} {z} {z} {z} {z}

Que es un polinomio de grado como máximo$ an easy calculation shows that the residue at $ y por lo tanto esta igualdad se extiende a todo$ equals $. Utilice$ \frac{f(z_k)}{w'(z_k)} \frac{w(z)}{z-z_k}.$$n-1$ P (z_k) = 2 \ pi i \, f (z_k) $.

Answer 2

Vamos $$P_j(z) := \prod_{k=1}^j (z-z_j)$$ (Then $w(z)=P_n(z)$ por definición). Como ya se mencionó es una buena idea para hacer un parcial de fracción. Tenemos

$$\begin{align}w(\xi)-w(z) &= ((\xi-z)+(z-z_n)) \cdot P_{n-1}(\xi) - (z-z_n) \cdot P_{n-1}(z) \\ &= (\xi-z) \cdot P_{n-1}(\xi) + (z-z_n) \cdot (P_{n-1}(\xi)-P_{n-1}(z)) \tag{1}\end{align}$$

por lo tanto

$$\frac{w(\xi)-w(z)}{\xi-z} = P_{n-1}(\xi) + \frac{z-z_n}{\xi-z} \cdot (P_{n-1}(\xi)-P_{n-1}(z)) \tag{2}$$

Ahora hacemos el mismo paso, como en (1) y obtener de nuevo

$$\begin{align}P_{n-1}(\xi)-P_{n-1}(z) &= (\xi-z) \cdot P_{n-2}(\xi) + (z-z_{n-1}) \cdot (P_{n-2}(\xi)-P_{n-2}(z)) \\ \stackrel{(2)}{\Rightarrow} \frac{w(\xi)-w(z)}{\xi-z} &= P_{n-1}(\xi) + \underbrace{(z-z_n)}_{=:Q_1(z)} \cdot P_{n-2}(\xi) + \frac{(z-z_n) \cdot (z-z_{n-1})}{\xi-z} \cdot (P_{n-2}(\xi)-P_{n-2}(z)) \end{align}$$

Por inducción obtenemos

$$\frac{w(\xi)-w(z)}{\xi-z}= \sum_{j=1}^m Q_{j-1}(z) \cdot P_{n-j}(\xi) + \frac{Q_m(z)}{\xi-z} \cdot (P_{n-m}(\xi)-P_{n-m}(z))$$

donde $Q_j(z) := \prod_{k=n-j}^n (z-z_j)$, $Q_0(z):=1$. Esto funciona bien para $m \leq n-2$. En el último paso (donde el resto de polinomio tiene grado 1), es decir,$m=n-1$, obtenemos

$$\begin{align} \frac{w(\xi)-w(z)}{\xi-z}&= \sum_{j=1}^{n-1} Q_{j-1}(z) \cdot P_{n-j}(\xi) + \frac{Q_{n-1}(z)}{\xi-z} \cdot ((\xi-z_1)-(z-z_1)) \\ &= \sum_{j=1}^{n-1} Q_{j-1}(z) \cdot P_{n-j}(\xi) +Q_{n-1}(z) \tag{3} \end{align}$$

Ahora hemos terminado: con (3) en la definición de $P$ obtenemos

$$\begin{align} P(z) &= \int_{\gamma} \frac{f(\xi)}{w(\xi)} \cdot \left( \sum_{j=1}^{n-1} Q_{j-1}(z) \cdot P_{n-j}(\xi) +Q_{n-1}(z) \right) \, d\xi \\ &= \sum_{j=1}^{n-1} Q_{j-1}(z) \cdot \underbrace{\int \frac{f(\xi)}{w(\xi)} \cdot P_{n-j}(\xi) \, d\xi}_{=:a_j} + Q_{n-1}(z) \cdot \underbrace{\int_{\gamma} \frac{f(\xi)}{w(\xi)} \, d\xi}_{=:b} \end{align}$$

Tenga en cuenta que $Q_j$ son polinomios de grado $\leq n-1$ (y que las constantes $a_j$, $b$ no depende de $z$). Esto demuestra que $P$ es el polinomio de grado n-1.

Por último, pero no menos: $$P(z_k) = \int_{\gamma} \frac{f(\xi)}{w(\xi)} \cdot \frac{w(\xi)-0}{\xi-z_k} \, d\xi = \int_{\gamma}\frac{f(\xi)}{\xi-z_k} \, d\xi = 2\pi \imath \cdot f(z_k)$$ where we applied Cauchy's integral formula (and used $w(z_k)=0$). (So if you would like to have $P(z_k) = f(z_k)$ you should add the factor $\frac{1}{2\pi \algebra} \cdots$ in your definiton of $P$.)