Suma de lo % de serie armónica alternancia $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \cdots $

Question

Sé que la serie armónica $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \cdots + \frac{1}{n} + \cdots \tag{I}$ $ diverge, pero qué pasa con la serie armónica alternancia

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \cdots + \frac{(-1)^{n+1}}{n} + \cdots ? \tag{II}$$

¿Convergen? Si es así, ¿cuál es su suma?

Answer 1

En realidad, hay dos "más directa" pruebas de que el hecho de que este límite es $\ln (2)$.

Primera Prueba con la bien sabe (típico problema de la inducción) igualdad:

$$\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+..+\frac{1}{2n} \,.$$

El lado derecho es $\frac{1}{n} \left[ \frac{1}{1+\frac{1}{n}}+ \frac{1}{1+\frac{2}{n}}+..+\frac{1}{1+\frac{n}{n}} \right]$ que es el estándar de la suma de Riemann asociada a $\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx \,.$

Segunda Prueba Usando $\lim_n \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}-\ln (n) =\gamma$.

Entonces

$$\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}= \left[ \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n} \right]-2 \left[\frac{1}{2}+\frac{1}{4}...+\frac{1}{2n} \right] $$

$$= \left[ \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n} \right]-\ln(2n) - \left[\frac{1}{1}+\frac{1}{2}...+\frac{1}{n} \right]+\ln(n) + \ln 2 \,.$$

Tomando el límite obtenemos $\gamma-\gamma+\ln(2)$.

Answer 2

Complementario a Mau la respuesta:

Llamar a una serie $a_n$ absolutamente convergente si $\sum|a_n|$ converge. Si $a_n$ converge, pero no es absolutamente convergente llamamos a $a_n$ condicionalmente convergente La serie de Riemann teorema establece que cualquier condicionalmente convergente la serie se pueden reordenar para convergen para cualquier número real.

Moralmente esto es debido a que tanto el positivo y negativo de las piezas de su serie divergen, pero las divergencias se cancelan uno al otro, de uno o de otro, de la cancelación de los otros puede ser escalonada mediante la adición de, por ejemplo, la negativa de los bits de cada tercer término en lugar de cualquier otro término. Esto significa que en la carrera por las dos divergencias a cancelar a la otra, le damos a la positiva poco algo de un jefe de inicio y obtener un mayor resultado positivo. Observe cómo, incluso en esta versión arreglada de la serie, cada término subirán exactamente una vez.

Es también digno de mención, en el enlace de Wikipedia Mau siempre, que la convergencia a $\ln 2$ de su serie está en el borde de la radio de convergencia de la serie de expansión de $\ln(1-x)$- esto es bastante típico de ocurrencia: en la frontera de un dominio de convergencia de una serie de Taylor, la serie es sólo convergentes - que es la razón por la que esta convergencia condicional tipo de comportamiento.

Answer 3

En esta respuesta, he utilizado sólo la desigualdad de Bernoulli para mostrar que $$ \left(\frac{2n+1}{n+1}\right)^\frac{n}{n+1} \le\left(1+\frac1n\right)^{n\left(\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\dots+\frac1{2n}\right)} \le\frac{2n+1}{n+1}\etiqueta{1} $$ El teorema del sándwich y $(1)$, muestran que $$ e^{\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\dots+\frac1{2n}\right)}=2\etiqueta{2} $$ Es decir, $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac12+\frac13-\frac14+\dots-\frac1{2n}\right) &=\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\dots+\frac1{2n}\right)\\[6pt] &=\log(2)\tag{3} \end{align} $$

Answer 4

no es absolutamente convergente (es decir, si se permite reordenar términos puede acabar con cualquier número te apetece).

Si consideras que la serie asociada formada por la suma de los términos de 1 a n de la original, que es fijar el orden de adición de la serie original, converge a $\ln(2)$ ver Wikipedia.

Answer 5

Digamos que tienes una secuencia de números no negativos $a_1 \geq a_2 \geq \dots$ tiende a cero. Entonces es un teorema que la alterna suma $\sum (-1)^i a_i$ converge (no necesariamente absolutamente, por supuesto). Esto se aplica en particular a su serie.

Por cierto, si tienes curiosidad por eso converge a $\log(2)$ (que parece algo aleatorio), es debido a la serie de Taylor de $\log(1+x)$ dejando $x \to 1$.