Deje que $U$ y $V$ ser espacios vectoriales, y $T_1$ y $T_2$ ser mapas lineales de $U$ a $V$ y $V$ a $U$ respectivamente, y están en los mapas.

Question

Deje que $U$ y $V$ ser espacios vectoriales, y $T_1$ y $T_2$ ser mapas lineales de $U$ a $V$ y $V$ a $U$ respectivamente, y están en los mapas.

Son $U$ y $V$ isomorfo?

Si ambos espacios son de dimensiones finitas, entonces son isomórficos. Pero en otros casos Creo que no son isomórficos.

Pero entonces me resulta difícil encontrar un contraejemplo. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Sí (asumiendo que los espacios vectoriales tienen bases, es decir, elección).

Supongamos que $T \colon U \to V$ es un mapa lineal. Si $\{v_i:i \in I\}$ es una base para $V$ elige $u_i$ con $T(u_i)=v_i$ para cada uno $i \in I$ .

Luego $\{u_i:i \in I\}$ es linealmente independiente, por lo que puede extenderse a una base. En particular, $ \dim V=|I| \le\dim U$ (la dimensión es la cardinalidad de una base).