Producto de Kronecker de matrices definidas positivas

Question

Estoy buscando una referencia donde se demuestra que dada dos matrices definidas positivas $A\in M_n$, $B \in M_m$, su producto de Kronecker $A\otimes B$ es positiva definida. Más precisamente, estoy buscando un cómputo mostrando $$\langle (A\otimes B)v,v\rangle \ge 0 para cada $v\in \mathbb{C}^{mn}$.

Específicamente no quiero usar la discusión sobre los valores propios o el producto mezclado y raíces cuadradas, pero un cálculo muy directo del medio interno y anterior. Le agradeceria la ayuda.

Answer 1

Que $V=\operatorname{mat}(v)$, apilando sus columnas cede $v$. Entonces, tenemos $$ \langle (A\otimes B)v, v\rangle = tr(BVAV^T). $A$ es positiva definida, $VAV^T$ es positivo semidefinite. $B$ Es positiva definida, $tr(B (VAV^T))$ es no negativo.

De hecho, si $B=R^T R$ es una descomposición de Cholesky, tenemos $$ tr( B VAV^T) = tr( RV A (RV)^T) \ge 0, que es cero si y sólo si $RV=0$, que es $V=0$. (Gracias a @user1551 para me de que.)