Haga $\Bbb H$ y $\Bbb R^2$ tienen la misma estructura uniforme?

Question

El medio plano superior hiperbólico $\Bbb H$ y el espacio euclidiano $\Bbb R^2$ no son isomorfos como espacios métricos, lo que se puede ver por el hecho de que en $\Bbb R^2$ para cualquier punto que no esté en una geodésica existe exactamente una geodésica que pasa por ese punto y que no interseca la geodésica original, mientras que en $\Bbb H$ existen infinitas geodésicas de este tipo.

Sin embargo, no veo ningún argumento de este tipo que utilice información visible para la estructura uniforme.

Son $\Bbb H$ y $\Bbb R^2$ ¿son isomorfos como espacios uniformes?

Answer 1

Como espacios uniformes, $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{H}$ no son isomorfas.

Una forma de probar $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{H}$ no son isomórficos como espacios métricos es que el área de un disco crece cuadráticamente con el radio en $\mathbb{R}^2$ pero crece exponencialmente con el radio en $\mathbb{H}$ . Es posible hacer un argumento similar utilizando sólo la estructura uniforme.

Primero definimos las nociones aproximadas de distancia y volumen para un espacio uniforme arbitrario. Sea $X$ sea un espacio uniforme, $U\subset X\times X$ un séquito. Para $x$ , $y\in X$ , defina $$d_U(x,y):=\inf\big\{n\big|\exists x_0,\ldots,x_n\in X: x_0=x,x_n=y, (x_i,x_{i+1})\in U\,\forall i\big\}\in\mathbb{Z}_{\geq 0}\cup\{+\infty\}.$$ Para $A\subset X$ definimos $$\mu_U(A):=\sup\big\{n\big|\exists x_1,\ldots,x_n\in A:(x_i,x_j)\not\in U\,\forall i\neq j\big\}\in\mathbb{Z}_{\geq 0}\cup\{+\infty\}.$$

Ahora podemos demostrar $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{H}$ no son isomorfos como espacios uniformes. Para $\epsilon>0$ definir un séquito $U_\epsilon:=\{(x,y):d(x,y)<\epsilon\}\subset(\mathbb{R}^2)^2$ . Del mismo modo, definimos $V_\epsilon\subset\mathbb{H}^2$ . Para cada $\epsilon>0$ y $x_0\in\mathbb{R}^2$ , $$\lim_{n\to\infty} \frac{\mu_{U_\epsilon}\big(\{x:d_{U_\epsilon}(x,x_0)<n\}\big)}{n^2} <\infty.$$ Los conjuntos $U_\epsilon$ forman un sistema fundamental de cortejos para $\mathbb{R}^2$ .

Reclamación : Para todo el séquito $U\subset V_1$ en $\mathbb{H}$ , $$\limsup_{n\to\infty} \frac{\mu_{U}\big(\{x:d_{U}(x,x_0)<n\}\big)}{n^2}=\infty.$$ Prueba : El conjunto $\{V_\epsilon\}$ es un sistema fundamental de cortejos, por lo que debe haber algún $\epsilon$ para lo cual $V_\epsilon\subset U$ . Entonces $$\begin{align*} \limsup_{n\to\infty}\frac{\mu_{U}\big(\{x:d_U(x,x_0)<n\}\big)}{n^2}&\geq\limsup_{n\to\infty}\frac{\mu_{V_1}\big(\{x:d_{V_\epsilon}(x,x_0)<n\}\big)}{n^2}\\ &\geq\limsup_{n\to\infty}\frac{\mu\big(B_{n\epsilon}(x_0)\big)/\mu(B_1(x_0))}{n^2}\\ &=\frac{\epsilon^2}{\mu(B_1(x_0))}\limsup_{m\to\infty}\frac{B_m(x_0)}{m^2}=\infty. \end{align*}$$ En la última línea, el $\mu$ sin subíndice denota la medida ordinaria en $\mathbb{H}$ y $B_r(p)$ es la bola de radio $r$ centrado en $p$ . Utilizamos el hecho de que $\mu_{V_1}(A)\geq \mu(A)/\mu(B_1(x_0))$ para cada conjunto $A\subset\mathbb{H}$ .