¿Problema de bono buen examen final para los estudiantes de cálculo?

Question

Estoy haciendo un examen final para un primer curso de cálculo en una Universidad. Necesito algunas sugerencias para un problema de buen bonus. Por los "buenos" me refiero a un problema interesante que algunos de los más brillantes estudiantes podrían solucionar en unos 15 minutos.

Que debe incluir límites derivados e integrales.

El problema no debe incluir funciones trigonométricas.

El problema no debe ser teórico. Estos estudiantes no pueden hacer las pruebas de análisis real, por ejemplo.

Answer 1

Aquí hay un par de problemas interesantes:

1. Deje $f^n(x)$ denotar la nésima iteración de una función (por ejemplo, $f^2(x)=(f\circ f)(x)$). Si $f$ tiene un punto fijo en $x=x_0$ (lo que significa que $f(x_0)=x_0$) entonces, ¿qué es $\frac{d}{dx}f^n(x_0)$ en términos de $f'(x)$?

2. Demostrar que la intersección de la parábola y el rectángulo en la imagen es $\frac{2}{3}$ el área del rectángulo:

3. Un triángulo se inicia es un triángulo equilátero $ABC$$t=0$. Sin embargo, cada segundo, tanto en $BC$ y la longitud de la altura a $BC$ aumentar $1$ de la unidad. Lo que hace que la medida del ángulo $BAC$ enfoque de la $t$ enfoques $\infty$?

Answer 2

Sea el segmento de línea conectar $L_t$ $(t, 0)$ $(0, 1-t)$ y $R$ sea la Unión de todos estos segmentos de línea para $t \in [0,1]$. Encontrar el área de $R$.

(Inspirado en un libro que tenía como un niño que dibujo estos segmentos de línea sería trazar un cuarto círculo, que resulta para ser decididamente falsos. El resultado sólo se ve vagamente similar a un cuarto del círculo.)

Answer 3

1. Calcular $$ \lim_{x\to0}\frac x{1-e^{x^2}}\int_0^xe^{y^2}\,dy $$

2. Deje $p>1$; demostrar la siguiente desigualdad $$ 2^{1-p}\le\frac{x^p+y^p}{(x+y)^p}\le1\;\;\forall x,y>0 $$

3. Deje $f\in\mathcal C^2(\Bbb R)$ s.t. $$ |f(x)|<1\;\;\forall x\in\Bbb R\\ f(0)^2+f'(0)^2=4\;\;. $$ Demostrar que no existe $\xi\in\Bbb R$ tal que $f''(\xi)+f(\xi)=0$ (sugerencia: considere la función $g(x):=f(x)^2+f'(x)^2$).

4. Deje $\{a_n\}_n\subset[0,+\infty[$; a continuación, probar que $$ \sum_na_n\;\;\mbox{converge iff}\;\;\; \sum_n\frac{a_n}{1+a_n}\;\;\mbox{converge} $$

Answer 4

Mi sugerencia:

1. Tomar cualquier relativamente complicado problema de cálculo.
2. Describir completamente en palabras, sin diagramas, los nombres de las variables, o símbolos matemáticos.

Y para una propuesta específica:

¿Cuál es el volumen de espacio cerrado por el exterior de los límites del campo de tiro de un cañón colocado en una superficie plana con fuerza gravitacional equivalente a la de la Tierra, la libre rotación en cualquier dirección, y una velocidad inicial de 400 metros por segundo, con exclusión de cualquier consideración de viento, la resistencia del aire, o rebotar tiros?

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Escrito el correcto aplicable ecuación dada una específica verbal descripción de un problema es una habilidad clave, y uno de los que (en mi opinión) bastante bien que distingue a los mejores alumnos de aquellos que sólo se puede resolver una ecuación. Escribiendo la ecuación correcta es más de la mitad del problema.

Otra complicado:

Con una nave espacial aceleración constante 1 la gravedad de la Tierra para toda la 384400 km de distancia a la luna, de revertir la dirección de aceleración instantáneamente en el punto medio, ¿cuánto tiempo tomará para completar el viaje?

Otro, aunque esto puede requerir algo de trigonometría:

Un paseo de la diversión de la centrifugadora (en la gravedad de la Tierra) con un radio (en la base) de 20 pies tiene sus paredes inclinadas hacia el exterior a 45 grados. ¿Cuál es la velocidad (en revoluciones por minuto) de la centrífuga debe alcanzar antes de que los objetos dentro de la diapositiva o el rollo de arriba de las paredes?

(Creo que cuando he trabajado este yo solo necesitaba básicos de la geometría, pero no es 100% seguro.)

Answer 5

Esta podría ser una pregunta difícil, pero quien figuras (sin mirar aquí...) se merece los puntos:

Se les recuerda que la derivada de una función derivable es cero en un minimizer de esa función, y que se puede utilizar esta condición para localizar el minimizer (por ejemplo, encontrar el vértice de una ecuación cuadrática).
Pídales que simplemente escribir la ecuación anterior para el caso de que usted está tratando de encontrar la curva de $y(x)$ que tiene la mínima longitud de arco de$x_1$$x_2$.
En otras palabras, la expresión de lo que usted necesita para tomar la derivada de y con respecto a lo que, con el fin de representar el hecho de que $y(x)$ tiene la mínima longitud posible de$x_1$$x_2$?

Claramente la curva sería un segmento de línea, pero ese hecho no debe ayudar a los de aquí. La idea es, si no ya saben de antemano que dicha curva sería lineal, ¿cómo empezar a probarlo? Escribir la correcta derivados y la configuración es igual a cero es el primer paso de eso, que es lo que estás pidiendo.