Confusión en el teorema fundamental del cálculo

Question

En el artículo de wikipedia que se muestra a continuación, dice $A(x)$ representa el área bajo la curva $y=f(x)$ entre $0$ y $x$ .

Luego dice $f(x)=A'(x)$ es decir $A(x)=\int f(x)dx$

lo que significa $\int f(x)dx$ representa el área bajo la curva $y=f(x)$ entre $0$ y $x$ .

Creo que no hay nada malo hasta aquí.

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Ahora bien, si ponemos $f(x)=e^{x}$ entonces $A(x)=e^{x}$ y en $x=0$ , $A(x)=e^{0}=1$

Es decir, el área $A(x)$ debajo de la curva $y=f(x)$ entre ( $0$ y $x=0$ ) es $1$ .

Ahora bien, ¿cómo podemos obtener un área no nula cuando encontramos el área entre los mismos puntos (es decir $0$ y $0$ )

Answer 1

Esto se debe a que su definición de $A$ no es del todo correcto. Para $f(x) = e^x$ , $A(x) = e^x - 1$ . Podemos ver que esto coincide con las propiedades que has especificado, porque $A'(x) = e^x = f(x)$ . Además, $A(0) = e^0-1 = 0$ según sea necesario. Ahora probablemente estés pensando "¿dónde está el $-1$ de la que viene?"

Considere un área de $x=a$ a $x=b$ . Entonces es igual al área de $0$ a $b$ menos el área de $0$ a $a$ ¿verdad? Así que el área de $a$ a $b$ viene dada por $A(b)-A(a)$ . Para nuestra función, esto es $(e^b-1)-(e^a-1) = e^b-e^a$ . El $1$ ¡s han desaparecido! Esto demuestra que el $1$ sólo importa para el caso absoluto, pero es irrelevante en los casos relativos. ¿Por qué importa en el caso absoluto? Porque su " $0$ " podría haberse definido en cualquier lugar. No importa dónde se mueva $0$ El valor de $A(b)-A(a)$ no cambiará, pero claramente $A(x)$ voluntad. Ahora puedes ver que el $-1$ es en realidad sólo un factor de traslación, que determina dónde " $0$ " es. De hecho, lo que hiciste fue un cálculo para encontrar ese factor.

"Conozco la zona $A(0)$ debe ser cero, pero también sé que $A'(x) = e^x$ . Por lo tanto, puedo concluir que $A(x) = e^x-1$ ."

Answer 2

Ahora bien, si ponemos $f(x)=e^{x}$ entonces $A(x)=e^{x}$ y en $x=0$ , $A(x)=e^{0}=1$

Es decir, el área $A(x)$ debajo de la curva $y=f(x)$ entre ( $0$ y $x=0$ ) es $1$ .

Ahora bien, ¿cómo podemos obtener un área no nula cuando encontramos el área entre los mismos puntos (es decir $0$ y $0$ )

¿Por qué supones que $A(x)=e^x$ si $f(x)=e^x$ ? Probablemente porque $(e^x)'=e^x$ pero lo mismo ocurre con $(e^x+c)'=e^x$ para cualquier $c \in \mathbb{R}$ .

Si $A(x)$ se introduce como el área bajo $f$ (suponiendo que $f$ es positivo) en el intervalo $[0,x]$ , entonces para $f(x)=e^x$ tienes razón en que $A(x) \ne e^x$ sino más bien: $$A(x) = \int_0^x e^t \, \mbox{d}t = e^x-1$$ Esto coincide con lo que se espera para $A(0)$ desde ahora $A(0) = e^0-1 = 0$ .

Answer 3

El teorema fundamental del cálculo dice que, si $f$ es una función continua en algún intervalo $I$ y $a\in I$ entonces $$ F(x)=\int_{a}^x f(t)\,dt $$ (para $x\in I$ ) es un antiderivada de $f$ .

La función $A(x)=e^x$ es un antiderivada de $f(x)=e^x$ también.

Obsérvese el énfasis puesto en " un ": no existe una determinación única de la antiderivada.

Sin embargo, por una conocida consecuencia del teorema del valor medio, las funciones $A(x)$ y $F(x)$ difieren en una constante. ¿Cuál es esta constante? Fácil: ya que $A(x)=F(x)+c$ para alguna constante $c$ , $$ A(a)=F(a)+c $$ y por definición $F(a)=0$ Así que $c=A(a)$ . Por lo tanto, $$ F(x)=A(x)-A(a) $$ y así $$ F(x)=e^x-e^a $$ En el caso particular de $a=0$ , se obtiene $$ F(x)=\int_0^x e^t\,dt = e^x-e^0=e^x-1 $$ y, para $x=0$ tenemos $F(0)=0$ como era de esperar.

En general, si $A(x)$ es un antiderivada de $f(x)$ entonces $$ \int_a^b f(t)\,dt = A(b)-A(a) $$

Answer 4

Tenga en cuenta que $f(x)=A'(x)$ no sigue $A(x)= \int f(x) d x$ ya que aquí $A(x)$ es una función específica pero $\int f(x) dx$ da todo las posibles antiderivadas de $f$ . Por ejemplo, si $f(x)=2x$ entonces $\int f(x) dx=x^2+c$ para cualquier $c$ , donde como $A(x)$ podría ser $x^2+1$ pero no puede ser $x^2+c$ para cualquier $c \ne 1$ .

Por lo tanto, desde $f(x)=A'(x)$ Sólo se puede seguir que si $F(x)$ es un de la antiderivada de $f$ entonces $$A(x)=F(x)+c=e^x+c. \tag{1}$$

Por lo tanto, no se puede implicar a $A(x)=e^x$ de $f(x)=A'(x)$ . En cambio, se entiende automáticamente que el área entre $0$ y $0$ es $0$ , lo que significa que $A(0)=0$ . Por lo tanto, de (1) se deduce $c=1$ . Así, $A(x)=e^x-1$ es el área entre $0$ y $x$ .

Answer 5

El problema que tienes puede ser el siguiente: primero, denotemos la antiderivada de $f$ por $A$ y el área de $f$ de $0$ a $x$ por $S$ . Entonces uno debería tener $S=\int_0^x fdx$ pero no $A(x)=\int_0^xfdx$ . De hecho, sólo se puede obtener que $A(x)=\int_0^xfdx+A(0)=S+A(0)$ .

Ahora considere su ejemplo, usted tiene su $A(x)=f(x)=e^x$ entonces su área debe ser $A(x)-A(0)=e^x-1$ . Inserción de $x=0$ que se encuentra la zona es $0$ .