He estado pensando acerca de cómo factoriales comparar a primorials. No he visto este argumento antes. Si he cometido un error, por favor llame a cabo. :-)
Deje $x+1, x+2, \dots, x+n$ ser una secuencia de enteros consecutivos.
Deje $r_{x,1},r_{x,2},\dots,r_{x,n}$ tienen las siguientes propiedades:
- $r_{x,i} | (x+i)$
- $r_{x,1}, r_{x,2}, \dots, r_{x,n}$ son todos primos relativos el uno al otro.
- $\prod\limits_{i \le n}r_{x,i}$ es el mínimo común múltiplo de a $x+1, x+2, \dots, x+n$
Ejemplo:
- Deje $x=35, n=5$, de modo que tenemos $36, 37, 38, 39, 40$
- $r_{35,1}=9, r_{35,2} = 37, r_{35,3} = 19, r_{35,4}=13, r_{35,5}=40$
- Cada una de las $r_i$ es relativamente primos entre sí y con el producto de todos es igual a la menos comunes múltiples.
Deje $r(x,n) = \prod\limits_{i \le n}r_{x,i}$
Reivindicación 1: Para $x \ge 36$, $\pi(x) \le \left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor$
A excepción de $2,3$ todos los números primos son $6x+1$ o $6x+5$.
Si $x \ge 36$:
$\pi(x) \le \pi(36) + \left\lfloor\frac{x+1-36}{6}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{x+5-36}{6}\right\rfloor \le \left\lfloor\frac{66}{6}+\frac{x-35}{6} + \frac{x-31}{6}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor$
Reivindicación 2: Para $n \ge 36$, suponiendo que no hay números primos entre $n$$2n$, hay, al menos, $\left\lfloor\frac{2n}{3}\right\rfloor$ instancias de distintos $i$ donde $r_{n,i}=1$.
Nota: en Estos casos podría ocurrir en cualquier lugar entre el$n$$2n$.
Desde $r_{n,1}, r_{n,2}, \dots, r_{n,n}$ son relativamente primos entre sí y hay menos de o igual a $\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor$ de los números primos, el resto debe ser $1$ y como cada primer se encuentra únicamente en una y sólo una $r_{n,i}$
Reivindicación 3: Para $n \ge 36$, $\dfrac{(2n)!}{n![r(n,n)]} \ge \dfrac{\left(n+\left\lfloor\frac{2n}{3}\right\rfloor\right)!}{n!}$ y $r(n,n) \le \dfrac{(2n)!}{\left(2n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor\right)!}$
Ambos se siguen directamente de la Reivindicación 2:
$r(n,n) < \dfrac{(2n)!}{\left(2n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor\right)!}$ ya que existen en la mayoría de las $\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor$ casos donde $r_{n,i}\ne1$ y el producto de esos casos es menor o igual a $\dfrac{(2n)!}{\left(2n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor\right)!}$
$\dfrac{(2n)!}{n![r(n,n)]} > \dfrac{\left(n+\left\lfloor\frac{2n}{3}\right\rfloor\right)!}{n!}$ desde $\dfrac{(2n)!}{n![r(n,n)]} = \prod\limits_{i \le n \text{ and } r_{n,i}=1} (n+i)$ y hay, al menos, $\left\lfloor\frac{2n}{3}\right\rfloor$ casos donde $r_{n,i}=1$ y el producto de cualesquiera $\left\lfloor\frac{2n}{3}\right\rfloor$ instancias será mayor o igual a $\dfrac{\left(n+\left\lfloor\frac{2n}{3}\right\rfloor\right)!}{n!}$.
Reivindicación 4: $\dfrac{\left(n+\left\lfloor\frac{2n}{3}\right\rfloor\right)!}{n!} > \dfrac{(2n)!}{\left(2n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor\right)!}$
- $\left\lfloor\frac{2n}{3}\right\rfloor \ge 2\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor$
- El producto de los dos instancias de $(n+i)(n+j)$ será mayor que $(n+1)(n+2) = n^2+3n + 2 > 2n$$n \ge 1$.
- De ello se desprende que el $\left\lfloor\frac{2n}{3}\right\rfloor$ puede ser ordenado en $\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor$ pares de $2$ de los casos.
Reivindicación 5: Para $n \ge 36$, es imposible que no existen números primos entre $n$$2n$.
Desde $\dfrac{\left(n+\left\lfloor\frac{2n}{3}\right\rfloor\right)!}{n!} > \dfrac{(2n)!}{\left(2n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor\right)!}$, aplicando la Reivindicación 2 y la Reivindicación 3, se sigue que:
$ \dfrac{1}{2}\dfrac{(2n)!}{n!} < \dfrac{(2n)!}{n![r(n,n)]}$
Pero esto es imposible, ya que $r(n,n) \ge n\# > 2$
Edit 1: he encontrado algunos problemas menores con la Reivindicación 2 y la Reivindicación 3.
Mientras que en la Reivindicación 1 se establece que $\pi(x) \le \left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor$, estos primos podría estar en cualquier punto entre el$n+1$$2n$. No es correcto asumir que la $r_{n,i}=1$ $i > \left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor$
He modificado argumento para quitar esta suposición.
Edit 2: parece Que mi definición de $r_i$ no funciona como yo esperaba.
Por ejemplo, para la secuencia de $36, 37, 38, 39, 40$, por mi anterior definición: $r_1=36, r_2=37, r_3 = 19, r_4=13, r_5=10$. Pero entonces, $\gcd(r_1,r_5)=2$.
He actualizado la definición que creo que soluciona el problema.
Edit 3: se ha Eliminado una referencia a primorial que me había perdido y los actualiza a la última frase.
No es esencial para el argumento, pero es incorrecto. Gracias a @mathlove para darse cuenta de ello.
Edit 4: actualización de la reivindicación 3, basado en el comentario de @JonMark Perry.
Edit 5: Reivindicación 5 no es válido. Véase la respuesta o comentarios para el detalle.
