Una hermana tiene dos justo seis lados dados, uno rojo el azul, que los dados se ruedan juntos. La hermana anuncia a su hermano quien se sentó en otra sala y no se puede ver el dado, que existe al menos uno en el resultado. Entonces le pregunta cuáles son las probabilidades que el otro dado es seis. Responde $1/6$, dice que no tiene que ser $1/11$. ¿Quién es más probable ser derecha o derecha? Por favor ayudar a resolver esta disputa familiar!
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
user153126
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De dos maneras:
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Estamos calculando la probabilidad de que ambos dados son un $6$ le da toda la información que él sabe, no ella. Vale la pena señalar que ella puede ver a los otros mueren, así que ella sabe con certeza (la probabilidad de $1$) si ambos son $6$s o no.
Ella rueda los dos dados al mismo tiempo. Hay 11 pares de dados para que su declaración de que "al menos uno de los dados son un $6$" es verdadera, es decir, $$(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)$$ no se nos dice que de los dados fue un $6$, por lo que no podemos cancelar cualquier posibilidad (que es la que incorrectamente concluyó $1/6$).
Sólo uno de estos 11 son tanto $6$s, por lo tanto la probabilidad es $1/11$.
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En una vena similar, pero más algebraicas, vamos $X_2=I[\text{die 1 is $6$}]$ y $X_1=I[\text{die 2 is $6$}]$, entonces
$$ \mathbb{P}[X_1+X_2=2 \,|\, X_1+X_2\geq 1] = \frac{\mathbb{P}[X_1+X_2 = 2]}{\mathbb{P}[X_1+X_2\geq 1]} = \frac{\mathbb{P}[X_1=1,X_2=1]}{1 - \mathbb{P}[X_1=0,X_2=0]}$$
por la independencia y que denota $\mathbb{P}[X_1=1]=p_1$, $\mathbb{P}[X_2=1]=p_2$, \begin{align}= \frac{\mathbb{P}[X_1=1]\mathbb{P}[X_2=1]}{1 - \mathbb{P}[X_1=0]\mathbb{P}[X_2=0]}= \frac{p_1p_2}{1-(1-p_1)(1-p_2)} = \frac{1}{\tfrac{1}{p_1}+\tfrac{1}{p_2}-1}\end{align} Tenga en cuenta que esto permite sesgada de dados (por ejemplo, ¿y si el muere primero fueron ponderados a la tierra en $6$ a 90% del tiempo?). Pero si asumimos que no están sesgados, a continuación,$p_1=p_2=\tfrac{1}{6} \implies \tfrac{1}{p_1} = \tfrac{1}{p_2}=6$, dando el mismo resultado de $\frac{1}{(6)+(6)-1} = \frac{1}{11}$.
Entonces podríamos responder a la misma pregunta si hemos sustituido a los dados con monedas ($p_1=p_2=\tfrac{1}{2}$), lo que da $\tfrac{1}{(2)(2)-1}=\tfrac{1}{3}$.
Editar Si el problema eran diferentes y en lugar de eso ella no lo ve de la segunda morir, entonces la probabilidad de que ella iba a adivinar correctamente es $1/6$. Si él sabía que ella sólo había visto un dado, la probabilidad de que él estaría en lo correcto en su conjetura es $1/6$, pero si él no tiene esa información, podría todavía ser $1/11$.
La confusión aquí es muy similar a la de Monty Hall problema.
aPaulT
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Esta pregunta no puede ser adecuadamente respondidas a partir de la información proporcionada (que es por qué es tan bueno en provocar argumentos). Para dar una respuesta apropiada, usted necesita saber en base a qué la hermana decidió lo hecho acerca de los dados para anunciar. Supongo que ella pensó para sí misma "voy a mirar el dado rojo, el cual se muestra un número, $n$. Voy a gritar a mi hermano que hay al menos un $n$ en el resultado". Ella lo hace y pasa a ser un 6 que sale en el dado rojo. Todo esto faffing alrededor con el dado rojo, obviamente, no afecta lo que el número que el azul de la muerte ha aterrizado en (la hermana incluso podría no tener la miraba), por lo que la probabilidad de que el otro lado es un 6 también es claramente 1/6.
Para obtener una respuesta de 1/11 usted necesita para hacer de un modo similar supuesto injustificado sobre la hermana del proceso de pensamiento (algo así como "Si al menos un dado muestra que una 6, a continuación, voy a anunciar que el hecho de que, de lo contrario no voy a decir nada, y ninguna pregunta de matemáticas será producido").
Este es esencialmente el mismo como el "martes Chico problema" como discutido por Rob Eastaway
Hurkyl
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57397
BLUF: Si esto sucedió en la vida real, yo esperaría que el hermano más probabilidades de ser correcta (pero por la razón equivocada). Pero me imagino que la persona que hizo la pregunta a la que tenía en mente un escenario en el que la hermana es más probable que sea correcta.
Este es un problema estándar, cuyo principal problema no es el formal de las matemáticas en la modelación del problema. Específicamente, el problema se da suficiente información para especificar lo que se va, dejando al oyente para llenar sus propias ideas acerca de cuál es el problema que quiere resolver.
Se agrava aún más por un error de gramática — en ninguna parte en el problema tiene una mueren sido especificado, por lo que no tiene sentido hablar de "los otros" de morir. Este error tiende a tener un muy fuerte efecto de engañar a la gente en una particular interpretación del problema.
Voy a resolver la gramática problema cambiando el problema un poco, mi cambio en negrita:
... La hermana anuncia a su hermano que está sentado en la otra habitación, y son incapaces de ver los dados, que hay al menos un seis en el resultado. A continuación, le pregunta cuál es la probabilidad de que ambos dados son seis. ...
Dicho esto, espero que el hermano más probabilidades de estar en lo correcto. Espero que la típica hermana que hace esto habría pasado por algo parecido a lo siguiente proceso:
- Ella piensa que "acabo de enterarme de este impecable probabilidad cosa. Voy a ver si lo puedo conseguir en mi hermano."
- Ella lanza dos dados
- Ella (uniformemente al azar) escoge uno de los dos dados, y anuncia su valor a su hermano
- Luego ella le pide a la pregunta de probabilidad
El tercer punto es muy importante. El punto es, por ejemplo, que el resultado de ver a dos dados con $\{6, 3\}$ que sucede con la probabilidad de $\frac{1}{18}$, pero el resultado de que los dados se $\{ 6, 3\}$ y la hermana decide anunciar el $6$ más que el $3$ que sucede con la probabilidad de $\frac{1}{36}$.
Así, a partir de la información de la hermana anuncia, los resultados más importantes son:
- Con una probabilidad de $1/36$, los dados leer $\{ 6, 1 \}$ y la hermana anuncia $6$
- Con una probabilidad de $1/36$, los dados leer $\{ 6, 2 \}$ y la hermana anuncia $6$
- Con una probabilidad de $1/36$, los dados leer $\{ 6, 3 \}$ y la hermana anuncia $6$
- Con una probabilidad de $1/36$, los dados leer $\{ 6, 4 \}$ y la hermana anuncia $6$
- Con una probabilidad de $1/36$, los dados leer $\{ 6, 5 \}$ y la hermana anuncia $6$
- Con una probabilidad de $1/36$, los dados leer $\{ 6, 6 \}$ y la hermana anuncia $6$
Por tanto, dada la información de que la hermana anunció una $6$, se encuentra que la probabilidad de que ambos dados leer $6$ es, de hecho, $1/6$.
Ahora, otro ejemplo de cómo esto podría haber pasado — y, probablemente, el que a la pregunta del creador tenía en mente, es que la hermana hizo algo más como
- En repetidas ocasiones se lanza dos dados hasta que al menos uno de los dos dados leer $6$
- Ella anuncia que hay un $6$ la pregunta
En este caso, el resultado de que los dados leer $\{ 6,1 \}$ después del anuncio realmente es $1/18$. Los resultados más importantes son
- Con una probabilidad de $1/18$, los dados leer $\{ 6, 1 \}$ cuando el anuncio se hizo
- Con una probabilidad de $1/18$, los dados leer $\{ 6, 2 \}$ cuando el anuncio se hizo
- Con una probabilidad de $1/18$, los dados leer $\{ 6, 3 \}$ cuando el anuncio se hizo
- Con una probabilidad de $1/18$, los dados leer $\{ 6, 4 \}$ cuando el anuncio se hizo
- Con una probabilidad de $1/18$, los dados leer $\{ 6, 5 \}$ cuando el anuncio se hizo
- Con una probabilidad de $1/36$, los dados leer $\{ 6, 6 \}$ cuando el anuncio se hizo
y vemos que la probabilidad es de $\frac{1}{11}$.
pete
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Que $X$ denotan el número de seises que han demostrado para arriba.
Entonces: $$\Pr(X=2\mid X\geq1)=\frac{\Pr(X=2\wedge X\geq1)}{\Pr(X\geq1)}=\frac{\Pr(X=2)}{1-\Pr(X=0)}=\frac{\frac16\frac16}{1-\frac56\frac56}=\frac1{11}$ $
Hermana que no decir algo como: "el dado rojo (o azul) muestra una seis". Hubiera hecho las cosas diferentes. En ese caso $\frac16$ es la respuesta correcta.
saulspatz
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Esto es una reminiscencia de una "paradoja" que vi en el libro de Martin Gardner "Juegos Matemáticos" de la columna en la revista Scientific American 50 tantos años atrás. Un jugador de bridge, conocido para ser sincero, se ve a las 13 cartas en su mano, y anuncia, "tengo un Ace." ¿Cuál es la probabilidad de que él tiene otro As? De nuevo, supongamos que anuncia en su lugar, "tengo un As negro." ¿Cuál es la probabilidad de que él tiene otro As? Finalmente, ¿cuál es la probabilidad que tiene una segunda Ace si él anuncia, "tengo el As de Espadas."
Si vas a los problemas de la computación estas probabilidades en la forma habitual, por ejemplo dividiendo la probabilidad de que tiene al menos dos Ases por la probabilidad de que él tiene al menos un As para el primer caso, se encuentra que como la especificidad de su anuncio aumenta, la probabilidad de que tiene un segundo de la Eca aumenta demasiado. Esto parece paradójico, ya que siempre se puede anunciar el color o el palo; parece que no se debe hacer ninguna diferencia.
No recuerdo cómo, o si, Gardner explica esto. En el momento en que era un completo misterio para mí. La explicación es similar a la respuesta dada por aPaulT; no tenemos suficiente información sobre cómo esta persona decide lo que anuncio que hacer. Por ejemplo, si se anuncia el color si y sólo si es negro, entonces la afirmación "tengo un Ace," es equivalente a "yo tengo un As rojo," y tenemos que volver a calcular la respuesta.
