Hay muchos diferentes problemas con las interacciones; o, por el contrario, muchas de las manifestaciones de un mismo problema.
Por ejemplo, las interacciones son siempre no-lineales en las ecuaciones de movimiento, por ejemplo,
$$
(\partial^2+m^2)\phi=\lambda\phi^3
$$
o similar ecuaciones para la QED. Como los operadores de las distribuciones, sus productos son de mal definido, y que no hay ningún método riguroso sentido de $\phi^3$. Es sólo un sentido de la expresión (hasta los físicos estándares, uno podría en este punto de murmurar algo acerca de la normal de ordenar, pero esto en realidad no archivar mucho).
Sólo en el caso de $\lambda=0$ ¿la ecuación anterior tiene una interpretación significativa: se convierte en un bien definido por la ecuación diferencial para una distribución, que pueden ser muy riguroso en el contexto de la teoría de la distribución. Para general $\lambda$, la ecuación es simplemente de sentido.
Como los campos libres están bien definidos y conocidos, uno puede intentar solucionar el problema anterior por el cambio en la interacción de la imagen,
$$
\phi=U\Phi U^\daga
$$
donde $\Phi$ es un campo libre, que es un objeto definido. Aquí Haag teorema entra en la imagen y nos dice que $U$ no existe. Sin embargo, nos físico jugar a pretender que no existe, y escribir
$$
U=\mathrm {Te}^{es\mathrm{int}}
$$
sólo para darse cuenta más tarde, ese $S_\mathrm{int}$ está plagada de divergencias (por ejemplo, en la forma de divergente contador-en términos de la interacción de Lagrange). Este es el precio que tenemos que pagar para tener un número finito de $S$ matriz: como $U$ no puede existir, se debe encuentro divergeneces en su definición misma, o de lo contrario, la teoría sería totalmente incoherente. Este es el punto de vista de algunas personas: QFT evade Haag teorema a través de renormalisation, y sólo porque éste es intrínsecamente mala definición de la operación.
Uno puede incluso tratar de dejar de tratar a formular la teoría a partir de primeros principios, y sólo contentarnos con la definición de la teoría por sus reglas de Feynman. Restricción de lado el hecho de que el perturbativa de la serie es asintótica, Feynman normas son de sentido demasiado de un riguroso punto de vista. Para una cosa, que incluyen propagadores y productos de los mismos; y estos objetos son las distribuciones así, de modo que su producto está mal definida. Este hecho, por supuesto, se manifiesta una vez más a través de divergencias: diagramas de Feynmann incluyen todo tipo de divergencias, que no pueden ser acomodados dentro de un matemáticamente riguroso de la teoría. Este enfoque suele ser desesperada.
La única manera de solucionar estos problemas es trabajar en una celosía. Esto es porque cuando usted va a un discreto espacio-tiempo, las distribuciones de perder a su singular naturaleza, y usted puede utilizar las funciones estándar (es decir, los campos de convertirse en operador de valores de funciones). Por ejemplo, la delta de Dirac en el r.h.s. de la canónica de relaciones de conmutación se convierte en un delta de Kronecker, por lo que el l.h.s. pierde su estatus de distribución. En términos más prácticos, cuando se trabaja en un entramado todo es convergente, y por lo que la teoría tiene sentido, al menos desde un perturbativa punto de vista. Más fundamentalmente, al trabajo en red, los grados de libertad se convierten finito, y por lo Haag del teorema no se aplica más.
