Ecuación funcional $f(x+f(x+y))=f(x-y)+f(x)^2 \quad \forall x,y\in \mathbb R$

Question

Tenemos que encontrar todas las funciones $f\colon \mathbb R\to\mathbb R$ tal que $f$ :

$$\forall x,y\in \mathbb R \quad f(x+f(x+y))=f(x-y)+f(x)^2.$$

¿Podría alguien ayudarme a resolver este problema?

Gracias.

Answer 1

Para empezar:

Denotamos $a=f(0)$ , $b=f(a)$ . Sustituyendo $y=-x$ en la ecuación original da como resultado $$f(x+a)=f(2x)+f(x)^2\text.\tag1\label{1a}$$

Sustituyendo $x=a$ en \eqref {1a}, tenemos $b=0$ . De nuevo, sustituyendo $x=0$ en \eqref {1a}, tenemos $b=f(0)+f(0)^2$ . Esto muestra $f(0)+f(0)^2=0$ Por lo tanto $f(0)=0$ o $-1$ .

Puede continuar desde aquí.

Answer 2

Se puede demostrar que la única función que satisface $$f\big(x+f(x+y)\big)=f(x-y)+f(x)^2\tag0\label0$$ es la función constante cero. Para demostrarlo, dejamos que $x=0$ en \eqref {0} y obtener $$f\big(f(y)\big)=f(-y)+f(0)^2\text.\tag1\label1$$ Además, sustituyendo $-x$ para $y$ en \eqref {0} tenemos $$f\big(x+f(0)\big)=f(2x)+f(x)^2\text.\tag2\label2$$ Dejar $x=0$ y $x=f(0)$ en \eqref {2}, tenemos respectivamente: $$f\big(f(0)\big)=f(0)+f(0)^2\text;$$ $$f\big(2f(0)\big)=f\big(2f(0)\big)+f\big(f(0)\big)^2\text.$$ Por lo tanto, concluimos que $f\big(f(0)\big)=0$ y $f(0)\in\{0,-1\}$ . Supongamos que $f(0)=-1$ . dejando $y=-1$ en \eqref {1} obtenemos $f(1)=-2$ . Así que si dejamos que $x=1$ en \eqref {2} tendremos $f(2)=-5$ . Ahora aplicando $f$ a ambos lados de \eqref {1} tenemos $f\Big(f\big(f(y)\big)\Big)=f\big(f(-y)+1\big)$ que por \eqref {1} produce $f\big(-f(y)\big)+1=f\big(f(-y)+1\big)$ . Dejando que $y=1$ en la última ecuación, tenemos $f(2)=-3$ lo que lleva a una contradicción. Así que $f(0)$ no puede ser igual a $-1$ y debemos tener $f(0)=0$ .

Ahora sustituyendo $f(y)-x$ para $y$ en \eqref {0} tenemos $$f\Big(x+f\big(f(y)\big)\Big)=f\big(2x-f(y)\big)+f(x)^2\text,$$ que por \eqref {1} produce $$f\big(x+f(-y)\big)=f\big(2x-f(y)\big)+f(x)^2\text.$$ De nuevo, sustituyendo $-x-y$ para $y$ en \eqref {0} tendremos $$f\big(x+f(-y)\big)=f(2x+y)+f(x)^2\text.$$ Comparando las dos últimas ecuaciones anteriores, obtenemos $f\big(2x-f(y)\big)=f(2x+y)$ . Sustituyendo $\frac{f(y)}2$ para $x$ Tendremos $f\big(y+f(y)\big)=0$ . También dejando que $y=0$ en \eqref {0} sabemos que $f\big(x+f(x)\big)=f(x)+f(x)^2$ . Así que por cada $x$ descubrimos que $f(x)\in\{0,-1\}$ . Por lo tanto, añadir $f(x)$ a ambos lados de \eqref {2} obtendremos $2f(x)=f(2x)$ que muestra que $f(x)$ no puede ser igual a $-1$ . Así que $f$ es la función constante cero.