La definición que se utiliza para la Mentira derivados, y el resultado que usted desea deducir, ambos mantienen para cualquier tensor contravariante de campo, así que voy a abordar la cuestión de este más general de la situación.
En la página $321$ Lee la Introducción a la Suave Colectores (segunda edición), se define la Mentira derivada de una covariante del tensor como lo han hecho. En la página siguiente se tiene la Proposición $12.32\ (d)$ que estados (estoy parafraseando):
Deje $A$ ser un suave contravariante $k$-tensor de campo en un suave colector $M$, y deje $V, X_1, \dots, X_k$ ser suave campos vectoriales en $M$. Entonces
$$\mathcal{L}_V(A(X_1, \dots, X_k)) = (\mathcal{L}_VA)(X_1, \dots, X_k) + \sum_{i=1}^kA(X_1, \dots, X_{i-1}, \mathcal{L}_VX_i, X_{i+1}, \dots, X_k).$$
En Corolario $12.33$, Lee señala que esta fórmula puede escribirse como (de nuevo, estoy parafraseando)
$$(\mathcal{L}_VA)(X_1, \dots, X_k) = V(A(X_1, \dots, X_k)) - \sum_{i=1}^kA(X_1, \dots, X_{i-1}, [V, X_i], X_{i+1}, \dots, X_k).$$
Esto sigue de inmediato una vez que sepas $\mathcal{L}_Vf = Vf$ para cualquier función suave $f$ $M$ (esta es la Proposición $12.32\ (a)$), y $\mathcal{L}_VX = [V, X]$ para cualquier campo vectorial $X$ $M$ (este es el Teorema de $9.38$).
