Potencial escalar magnético muy por encima de una película magnética

Question

La situación que estoy viendo es un magneto-estática problema de una finita capa magnética con la magnetización $\bf{M}$. Me gustaría encontrar el campo magnético muy por encima de la placa. Mi expectativa es que muy por encima de la placa, el campo debe acercarse a la dipolar del campo que como las escalas de $1/r^3$. Sin embargo mis cálculos numéricos están produciendo $1/r^4$.

Estoy usando Jackson libro (3ª ed.). como una guía. Supongo discontinuo de la magnetización en la superficie para que yo pueda usar Jackson Eq. 5.100, que es el potencial escalar magnético:

$$\Phi_M (\bf{x}) = \frac{1}{4 \pi} \oint_S \frac{\bf{n}' \cdot \bf{M}(\bf{x}')}{|\bf{x}-\bf{x}'|}da'$$ assuming that the magnetization $\bf{M}(\bf{x}')$ is uniform within the volume. The top and bottom surfaces of the film will contribute to the potential. If I focus just on the top surface and assume a normalized magnetization $\bf{M} = M \hat{z}$:

$$\Phi_M (\bf{x}) = \frac{1}{4 \pi} \oint_{top} \frac{ M}{|\bf{x}-\bf{x}'|}da'.$$

No veo a dónde ir desde aquí o cómo la esperada $1/r^2$ dependencia surgir.

Answer 1

El campo en el que está interesado siempre se calcula como algunos derivados de la potencial. No tengo Jackson a mano, pero supongo que en el magnetostatic caso, tome ${\bf H} = -\nabla \Phi_M$, para calcular los campos. El gradiente de una $1/r$ cantidad es algo así como un $1/r^2$ cantidad. Usted puede averiguar esto exactamente tomando el gradiente en el sistema de coordenadas apropiado. En cualquier caso, obtendrás un término como $\frac{\partial}{\partial r}\frac{1}{r}=-\frac{1}{r^2}$

Para hacer una "lejos" de expansión, para empezar pensando que si su superficie es pequeña en comparación a lo lejos que el punto de observación de las $\bf x$,, a continuación,$|{\bf x-x'}|\approx|{\bf x}|$. Esto probablemente no es lo suficientemente bueno para obtener una respuesta, así que vamos a ver en un orden de aproximación del efecto de la superficie, así que decir que su superficie es en el $z=0$ plano, tipo de centra en el $z$-eje, entonces

$$ |{\bf x-x'}| = \sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+z^2}= z\sqrt{1+\frac{(x-x')^2+(y-y')^2}{z^2}} $$ Luego aproximado tu integrando el uso de la primera orden de la serie de $\left(1+\epsilon\right)^{-1/2}\approx 1-\epsilon/2$ $$ \frac{M}{|{\bf x-x'}|}\approx \frac{M}{z}\left(1-\frac{(x-x')^2+(y-y')^2}{2z^2}\right) $$

La integral sobre la imprimación de coordenadas dependerá de los detalles de su superficie, pero ya se puede ver el orden de líder en $1/z$ comportamiento en el potencial. Hay un $1/z^3$ término de corrección así. Es claro, entonces, que cerca de la $z$-eje, a lo lejos, $z\approx r$ y conseguir potenciales que la caída de la inversa de la distancia. Tomando el gradiente de esto debería ir la $1/r^2$ campo de la caída, y $1/r^4$ término de corrección que importa cerca de la placa. Se había supuesto, a la crisis de un simple integral sobre la imprimación de coordenadas para obtener estas cerca de campo de los detalles, e incluso entonces, dentro del rango de validez de la aproximación que hemos hecho, que es que el $(x-x')^2+(y-y')^2\ll z^2$, es decir, cerca de la $z$-eje.

La geometría de la placa en realidad no importa en esto, como el tiempo es finito, lo que significa que se puede llegar muy lejos por encima de ella por lo que se ve "pequeño" cuando miramos hacia atrás en ella.

Como de orden superior campo de la caída, sé que estos tipos de efectos que puede ocurrir cuando dos tipos de fuentes están cerca uno del otro de tal manera que se cancelan a un primer orden de aproximación. Este podría ser el caso de su segunda "parte inferior" de la superficie; si la magnetización en la superficie inferior es el opuesto de la parte superior, creo que el primer fin de $1/z$ dependece de los potenciales cancelará, dejando $1/z^3$ potenciales. Tomando los gradientes de estos le dará $1/z^4$ caen directamente sobre la placa finita.

Finalmente, dado el potencial de formulación que usted está usando, yo no esperaría dipolo como $1/r^3$ campo de difuminación. El potencial ha de ser como $1/r^2$ conseguir $1/r^3$ campo de caer, mientras que el potencial está utilizando es $1/r$, como un monopolo magnético. Es esta la mejor formulación para su magnetización? No estoy seguro, pero la Wiki tiene la magnetostatic potencial escalar como caerse como $1/r^2$, para empezar, lo que le daría su esperado dipolo-como $1/r^3$ campo.

Answer 2

Su simulación numérica debe ser malo. El campo de larga distancia de cualquier manera uniforme magnetiza el material se aproxima a la de un dipolo. Para su caso en la mano es fácil ver cómo sucede esto: Su película delgada puede ser visto como una colección de pequeños dipolos, el "magnético positivo cargos" en la parte superior de la cara de la película y los negativos en la parte inferior de la cara. Podemos tratar a estos cargos, methematically como cargas eléctricas para calcular el escalar magnético potencial. Ahora tenemos un problema en la electrostática. También es bien conocido que en la electrostática hay un multipolo expansión del campo

punto de carga total + dipolo + cuadrupole + ....

La carga total es 0 en la cuenta de $\nabla \cdot B =0 $ en todas partes. Ahora, para el dipolo contribución a desaparecer de un momento dipolar total cero, en este caso el cuadrupole domina y obtener un $1/r^4$ para el campo.

Pero este no es su caso. Usted tiene un momento magnético total. Es ${\bf p} =Ad\bf M$

$A$ es el área de la película. Su potencial a gran distancia es

$\Phi_M (r, \theta)= p\cos \theta /r^2$ Este resultado también puede ser derivada a partir de la fórmula de Jackson:

Considere la posibilidad de la integración en ambas caras, parametrise el vector de posición de la parte inferior de la cara como ${\bf x}'' = {\bf x}' - \hat{z} d$ donde $d$ es el espesor de la película y el $z$ eje normal a la película del gran superficie, de esta manera se puede realizar la integración en ambas caras simultáneamente:

$$\Phi_M = M \int_{upper ~face} \left( \frac{1}{|{\bf x} -{\bf x}'|} - \frac{1}{|{\bf x} -{\bf x}' + d \hat{z}|}\right) d{\bf a'}$$

Ahora uso expansión de Taylor considerando $d <<|{\bf x}-{\bf x}'|$ el primer término se cancela, y el primer término es

$$\Phi_M = M d \int_{upper ~face} \frac{({\bf x}-{\bf x}')\cdot \hat{z}}{|{\bf x}-{\bf x}'|^3} d{\bf a'} $$

Para un gran $|{\bf x}-{\bf x}'| =r$ la integral se aproxima, el vector ${\bf x}-{\bf x}'$ formas casi un ángulo constante $\theta$ $z$ eje, de modo que $({\bf x}-{\bf x}')\cdot \hat{z} \simeq r \cos \theta$ y el área de interal da $ A \cos \theta / r^2$ que se traduce en

$$\Phi_M (r, \theta) \simeq \frac{MAd\cos \theta}{r^2}$$

Esto dará a los campos que se caen como $1/r^3$, no $1/r^4$.

Answer 3

$\newcommand{\+}{^{\daga}}% \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert #1 \right\vert}% \newcommand{\yy}{\Longleftrightarrow}$

Tal vez tengo una confusión acerca de la cuestión. Vamos a la película resto en $\verts{z} < d/2$ y la magnetización $\vec{\rm M}\pars{\vec{r}}$ es uniforme dentro de la película: $\vec{\rm M}\pars{\vec{r}} = M_{0}\Theta\pars{d/2 - \verts{z}}\hat{z}$. A continuación, la 'corriente de magnetización' $\vec{\rm J}_{\rm M}\pars{\vec{r}}$ está dada por: $$ \vec{\rm J}_{\rm M}\pars{\vec{r}} = c\nabla\times\vec{\rm M}\pars{\vec{r}} = cM_{0}\,\delta\pars{{d \over 2} - \verts{z}}\bracks{-\sgn\pars{z}} \quad\overbrace{\color{#ff0000}{\Large\hat{z}\times\hat{z}}}^{{\Large =\ \vec{0}}} $$ Entonces, el vector de potencial se desvanece, y no hay ningún campo magnético $\pars{~\mbox{when}\ \vec{\rm M}\pars{\vec{r}} \parallel \hat{z}~}$.