¿Interpretación geométrica de un quinto ' raíces de s como un Pentágono?

Question

De acuerdo con esta subsección, "interpretación Geométrica de un cúbicos raíces", dado que,

$$F(x)=x^3+ax^2+bx+c=0$$

con tres reales raíces, "...entonces las raíces son la proyección en el $x$-eje de los vértices $A, B, C$ a de un triángulo equilátero. El centro del triángulo que tiene el mismo eje de abscisas como el punto de inflexión".

$\hskip2.7in$

$$\text{Fig.1}$$

Preguntas:

1. En general, dada $F(x) = 0$ grado $n>2$ $n$ real raíces son las raíces de la proyección en el $x$-eje de los vértices de un n-ágono regular?
2. Si es así (y al menos para el deg $n=4,5$), lo que las características de la $n$-gon (como $\theta$, en el centro del eje de abscisas, etc) puede ser dada en una forma cerrada, en términos de las raíces?

Answer 1

Polinomios de lado, esta pregunta es acerca de cómo arbitraria de conjuntos de $n$ puntos en una línea (es decir, el $x$-eje), se refieren a los vértices de regular $n$-ágonos. Incluso con el polinomio de cosas, vale la pena generalizar arbitraria de conjuntos de puntos en el plano (identificado con el plano complejo de la raíz del polinomio).

El hecho es que Cualquier conjunto de $n$ puntos en el plano se puede obtener a partir de una "suma" de los vértices de $n$ regular $n$-ágonos.

Podemos obtener la relación deseada en dos pasos:

1. Demostrar que cualquier poligonal ciclo de $n$ puntos en el plano se puede escribir como una imagen definida de "suma" de $1+\lfloor n/2 \rfloor$ affinely-regular $\{n/m\}$-ágonos (es decir, las imágenes de regular $\{n/m\}$-ágonos bajo afín ---de hecho, meramente lineal--- transformaciones).

La figura muestra un polígono (superior-derecha) con coordenadas de la matriz $$\left[\begin{matrix} 3 & 1 & 4 & 15 & 9 \\ 2 & 6 & 5 & 3 & 5 \end{matrix} \right]$$ y sus tres affinely-regular componentes: un convexo $5$-gon, un "estrellado" $\{5/2\}$-gon, y un negro $\{5/0\}$-gon (con todos los vértices coincidentes en el centroide del polígono). El tintado de los segmentos indican cómo los vértices del polígono "vector de sumas" el centroide y los correspondientes vértices de la otra afín componentes.

2. Demostrar que cualquier affinely-polígono regular (ya no regular) es la "suma" de dos en realidad-polígonos regulares, por lo que, en última instancia, el original de la poligonal del ciclo es la "suma" de $n$ polígonos regulares.

En la siguiente figura se descompone de nuestro polígono del affinely-componentes normales en componentes normales. El tintado de las rutas que emana desde el centro de gravedad se actualizan para mostrar el vector de sumas:

En lo que sigue, tomamos $P = \{p_0, p_1, \dots, p_{n-1}\}$ es una lista ordenada de puntos (vértices de un $n$-gonal ciclo, o simplemente un $n$-gon) en el plano, y escribimos $[P]$ para la matriz cuyas $k$-ésima columna es el vector coordenado de $p_k$$\mathbb{R}^2$. Dada una aplicación lineal $L$, escribimos $[L]$ de su matriz. Y nos vamos a la suma de la matriz de inducir una "suma" en los polígonos y en las transformaciones: $$[P_1 \oplus P_2] := [P_1] + [P_2] \qquad\qquad [L_1 \oplus L_2] := [L_1] + [L_2]$$

También, estoy usando el Schlafli polígono símbolo $\{n/m\}$ en el Grunbaum sentido de no-relativamente-prime $m$$n$. Por ejemplo, considero que el $\{6/2\}$-gon a ser, no un compuesto de dos triángulos en seis puntos, pero un doble trazado de triángulo en tres puntos. (Vea la definición de $R_m$ a continuación).

---

Para el Paso 1, tenga en cuenta estas coordenadas matrices de regular $\{n/m\}$-ágonos para $m = 0, 1, 2, \dots, \lfloor n/2 \rfloor$:

$$R_m := \begin{cases} \sqrt{\frac{1}{n}} \;\left[\;\matrix{1 & \phantom{-}1 & 1 & \cdots & \phantom{-}1} \;\right] & m = 0 \\[6pt] \sqrt{\frac{1}{n}} \;\left[\;\matrix{1 & -1 & 1 & \cdots & -1} \;\right] & m = n/2 \\[6pt] \sqrt{\frac{2}{n}} \;\left[\;\matrix{1 & \cos\frac{2\pi m}{n} & \cos\frac{4\pi m}{n} & \cdots & \cos\frac{2(n-1)\pi m}{n} \\ 0 & \sin\frac{2\pi m}{n} & \sin\frac{4\pi m}{n} & \cdots & \sin\frac{2(n-1)\pi m}{n}} \;\right] & \text{otherwise} \\ \; \end{casos}$$ (Ver que, para $m=6$, $n=3$, la correspondiente hexágono se envuelve alrededor de dos veces en los vértices de un triángulo equilátero. Esta es la razón que difieren de la definición formal de la Schlafli símbolo). Un poco de trigonometría, junto con la conveniente factores de escala, asegúrese de que esta clave de la relación: $$\sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} R_m^\top R_m = I \tag{2}$$

Ahora, para un determinado $n$-gon $P$ en el avión, de considerar a la familia de $n$-ágonos $P_m$ definido por $$[P_m] := [P] R_m^\top R_m$$

Por $(2)$, $$\sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} [P_m] = [P]\;\sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} R_m^\top R_m = [P]I = [P] \qquad\to\qquad\bigoplus_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} P_m = P \tag{3}$$ de modo que $P$ es la "suma" de la $P_m$s, cada uno de los cuales es un affinely-regular $\{n/m\}$-gon. Esto completa el Paso 1. $\square$

---

Paso 2 cantidades a través de la simple observación de la realidad $2$a$2$ matrices. $$M = U S V^\top = U\left[\matrix{ s_1 & 0 \\ 0 & s_2 } \right] V^\top = U \left( Q_1 + Q_2 \right) V^\top = U Q_1 V^\top + U Q_2 V^\top \tag{1}$$ donde $USV^\top$ es la descomposición de valor singular de a $M$, y $$Q_1 := \frac{s_1+s_2}{2}\left[\matriz{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } \right] \qquad\qquad Q_2 := \frac{s_1-s_2}{2}\left[\matriz{1 & \fantasma{-}0 \\ 0 & -1 } \a la derecha]$$ son a escala ortogonal de matrices. Desde $U$ $V$ son necesariamente ortogonales a sí mismos, $(1)$ describe una descomposición de cualquier $2$a$2$ matriz en la suma de dos a escala de las matrices ortogonales. (Si $M$ ya es ortogonal, entonces $s_1 = s_2 = 1$, por lo que el $Q_2$ desaparece.)

Por lo tanto, si $R$ es cualquier "punto" (en particular, los vértices de un regular $n$-gon), y $L$ cualquier transformación lineal, entonces tenemos $$[L][R] = [T_1\oplus T_2] [R] = [T_1][R] + [T_2][R] \qquad\to\qquad L(R) = T_1(R) \oplus T_2(R)$$
donde el $[T_i]$ son a escala de las matrices ortogonales, por lo que el $T_i$ son de origen-la fijación de las similitudes (es decir, isometrías compuesto con dilataciones). Esto dice exactamente que la imagen lineal de cualquier planar punto es la "suma" de dos imágenes similares de ese conjunto; si el punto-set se compone de los vértices de un polígono regular, entonces lo hacen las imágenes similares. Esto completa el Paso 2, y muestra que una arbitraria $n$-gon en el plano puede expresarse como la "suma" de regular $n$-ágonos. (Para ver que no se $n$ componentes en total, tenga en cuenta que nosotros no necesita descomponer un affinely-regular $\{n/0\}$-gon o $\{n/(n/2)\}$-gon, ya que estos son inherentemente regular; para todos los demás $m$, el affinely-regular $\{n/m\}$-gonal de componentes da lugar a dos componentes normales (uno de los cuales podría ser "cero"). $\square$

---

Por lo tanto, cualquier conjunto de puntos en el plano se puede derivar a partir de las combinaciones de los vértices de los polígonos regulares. Si restringimos los puntos a una línea, a continuación, el Paso 1 anterior se aplica todavía. Paso 2, sin embargo, simplifica de acuerdo a la observación de que la proyección de cualquier afín a la imagen de un polígono regular es equivalente a la proyección de un isométrico de la imagen de ese polígono; por lo tanto, no hay ninguna razón para "descomponer" la proyección afín polígono en dos componentes normales, ya que uno de los componentes que va a hacer.

Algunos comentarios:

1. A excepción de $m=0$, todos los componentes normales tienen su centro en el origen. El $m=0$ componente (todos de cuyos vértices coinciden) eficacia de cuentas para la traducción de la suma en su posición.

2. Se nos impuso un orden en los puntos para obtener un determinado polígono $P$ y derivar sus componentes normales. Obviamente, para $n > 3$, se puede imponer un orden diferente, diferente polígono, y así derivar un nuevo conjunto de componentes normales. No he investigado cómo estos diversos conjuntos de componentes normales se relacionan (excepto, por supuesto, para tener un conjunto común de puntos como su "suma").

3. Polígono-izing los puntos es sólo una aproximación. Otra es considerar que nuestra $n$ puntos como vértices de un $(n-1)$-simplex. O, más en general, como los vértices de cualquier combinatoria gráfico nos importa a construir mediante la conexión de los puntos con los bordes. El paso 1 del análisis, tal como es, ya no se aplica; sin embargo, podemos reemplazar la $R_m$s coordinar con las matrices de otros "regular" las cifras (por ejemplo, los esqueletos de los poliedros Platónicos), como se describe en mi nota "Espectral de la Realización de los Gráficos". Una simple generalización del Paso 2 se asegura de que cualquier imagen lineal de una $d$-dimensiones de la figura se descompone en $d$ similares, cifras, como se describe en "Una Extensión de un Teorema de Barlotti a Múltiples Dimensiones".

4. El proceso que se describe fácilmente genera coordinar las matrices para los diversos componentes normales de las coordenadas de los puntos originales de sí mismos. (La Descomposición de Valor Singular es la única parte complicada.) Por lo tanto, todas las propiedades métricas de los componentes son computables. Sin embargo, si $F$ es un polinomio de tener esos puntos como raíces, no es claro qué aspectos de los componentes se refieren a las propiedades del polinomio. Dado que el polinomio no sabe ni le importa en qué orden (u otra estructura) se podría imponer a las raíces, incluso no está claro qué relación al sospechoso. (Análisis en esta área se lleva en los comentarios (2).)

---

Editar para agregar... resulta que la naturaleza específica de nuestros productos de matriz nos permite ser más explícito acerca de la descomposición en el Paso 2, evitando la Descomposición de Valor Singular por completo, y facilitar la comprensión de la geometría.

Deje $P$ ser una de coordenadas de la matriz ... $$P := \left[\begin{matrix} x_0 & x_1 & x_2 & \cdots & x_{n-1} \\ y_0 & y_1 & y_2 & \cdots & y_{n-1} \end{de la matriz}\right]$$ ... y considerar la posibilidad de $R_m$ como se definió anteriormente, con $m \neq 0$ $m \neq n/2$ (por simplicidad). Entonces, tenemos $$M := P R_m^\top = \sqrt{\frac{2}{n}}\;\left[\begin{matrix} \sum x_k \cos\frac{2\pi k m}{n} & \sum x_k \sin\frac{2\pi k m}{n} \\[6pt] \sum y_k \cos\frac{2\pi k m}{n} & \sum y_k \sin\frac{2\pi k m}{n} \end{de la matriz}\right]$$ con sumatorias tomada $k = 0$$n-1$. Con un rápido desvío en el complejo de dominio para definir $$z_k := x_k + i y_k \qquad\qquad \omega := \exp(2\pi i/n)$$ $$\rho_m := r_m \exp i\theta_m = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}\;z_k \omega^{km} \qquad \sigma_m := s_m \exp i\phi_m = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}\;z_k \overline{\omega}^{km}= \sum_{k=0}^{n-1}\;z_k \omega^{km}$$ (Así, $\rho_m$ es el centroide del polígono en el que el $k$th vértice ha sido girado por $2\pi km/n$; de la misma manera para $\sigma_m$, pero con sentido opuesto orientado a las rotaciones. Curiosamente, las coordenadas de estos centroides son invariantes bajo la traducción de la original polígono (por qué?), de modo que $r_m$ $s_m$ medir la misma distancia desde el centro de vértice de rotación, no importa donde, el centro pasa a ser.) Estos nos permiten escribir

$$x_k = \frac{1}{2}(z_k + \overline{z}_k) \qquad y_k = \frac{1}{2i}(z_k - \overline{z}_k)$$ $$\cos\frac{2\pi k m}{n} = \frac{1}{2}( \omega^{km} + \overline{\omega}^{km} ) \qquad \sin\frac{2\pi k m}{n} = \frac{1}{2i}( \omega^{km} - \overline{\omega}^{km} )$$ y por lo tanto $$\begin{align} M &=\sqrt{\frac{n}{2}} \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2}(\rho_k + \overline{\rho}_m + \sigma_m + \overline{\sigma}_m) & \phantom{-}\frac{1}{2i}(\rho_m - \overline{\rho}_m - \sigma_m + \overline{\sigma}_m) \\ \frac{1}{2i}(\rho_m - \overline{\rho}_m + \sigma_m - \overline{\sigma}_m) & -\frac{1}{2}(\rho_m + \overline{\rho}_m - \sigma_m - \overline{\sigma}_m) \end{de la matriz} \right] \\[6pt] &= \sqrt{\frac{n}{2}}\left[ \begin{matrix} r_m \cos\theta_m + s_m \cos\phi_m & \phantom{-}r_m\sin\theta_m - s_m \sin\phi_m \\ r_m \sin\theta_m + s_m \sin\phi_m & -r_m \cos\theta_m + s_m \cos\phi_m \end{de la matriz}\right] \\[6pt] &= r_m \sqrt{\frac{n}{2}}\left[ \begin{matrix} \cos\theta_m & \phantom{-}\sin\theta_m \\ \sin\theta_m & -\cos\theta_m \end{de la matriz}\right] + s_m \sqrt{\frac{n}{2}}\left[ \begin{matrix} \cos\phi_m & - \sin\phi_m \\ \sin\phi_m & \phantom{-}\cos\phi_m \end{de la matriz}\right] \end{align}$$ que es nuestra descomposición de $M$ a (real!) a escala de las matrices ortogonales.

En consecuencia, la regular $\{n/m\}$-gonal componentes de polígono con las coordenadas de la matriz $P$ han coordinar las matrices se encuentran en esta suma: $$PR_m^\la parte superior R_m = M R_m = r_m \left[ \begin{matrix} \cdots & \cos\left(\theta_m - \frac{2\pi k m}{n} \right) & \cdots \\ \cdots & \sin\left(\theta_m - \frac{2\pi k m}{n} \right) & \cdots \end{de la matriz} \right] + s_m \left[ \begin{matrix} \cdots & \cos\left(\phi_m + \frac{2\pi k m}{n} \right) & \cdots \\ \cdots & \sin\left(\phi_m + \frac{2\pi k m}{n} \right) & \cdots \end{de la matriz} \right]$$ Vale la pena señalar que el componente de los polígonos que se trazan en orientaciones opuestas. Lo que es más importante, los parámetros $r_m$, $s_m$, $\theta_m$, y $\phi_m$, que han geométricas importancia relativa de los polígonos con girar vértices, proporcionar los radios y "a partir de los ángulos" para $P$'s componentes normales.

Answer 2

Voy a utilizar una respuesta a la dirección de OP de la solicitud para el manejo del caso específico en el cual los puntos son las raíces de esta quintic: $$x^5 + x^4 - 4 x^3 - 3 x^2+3 x+1 = 0$$

Vamos a polígono-ize mediante la imposición de un orden en las raíces de menor a mayor; que se nos tomamos esto a ser las coordenadas de la matriz: $$P := \left[\begin{matrix} -1.918\dots & -1.309\dots & -0.284\dots & 0.830\dots & 1.682\dots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{de la matriz}\right]$$

Aquí está la gráfica del polinomio, mostrando la (teñido) raíces y el (negro) $\{5/0\}$ componente en las raíces' centroide (aka, su promedio).

Siguiendo el proceso descrito en mi otra respuesta, se obtiene una affinely-regular origen centrado $5$-gon y $\{5/2\}$-gon; cada uno de estos se descompone en dos, en realidad-regular los componentes, como se muestra:

Usted notará que en este caso especial, donde $P$'s vértices son colineales, el regular de los componentes de cada tipo son imágenes especulares el uno del otro, con el fin de que su $y$-coordenadas del vector de sumas cancelar. Si decidimos introducir proyección a cero $y$-coordenadas, entonces podemos eliminar uno de cada uno de los componentes normales, y el doble del tamaño de la restante. He aquí una posibilidad:

En el anterior, aproveché la oportunidad para volver a centrar los componentes normales con el centro de gravedad. El extra de puntos flotantes son el vector de sumas de vértices correspondientes de los componentes; las proyecciones de estos en el $x$-eje de dar las raíces del polinomio.