Explicando que $1 \cdot 3 \cdot 5 \dotsm (2n+1) = 1 \cdot 3 \cdot 5 \dotsm (2n-1)(2n+1)$

Question

Tengo algunos estudiantes que tienen problemas para entender que $$1 \cdot 3 \cdot 5 \dotsm (2n+1) = 1 \cdot 3 \cdot 5 \dotsm (2n-1)(2n+1),$$ concretamente que $$\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dotsm (2n+1)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \dotsm (2n-1)} = 2n+1.$$ He intentado explicarlo de varias maneras, pero parece que no sale muy bien. ¿Cuál sería una buena manera de explicarlo?

Answer 1

Sugeriría incluir más términos al final de los productos. Eso hace que sea más fácil ver el patrón y ver por qué es sólo $(2n+1)$ que queda al final.

$$ \require{cancel} \begin{align} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dotsm (2n+1)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \dotsm (2n-1)} &= \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dotsm (2n-5)(2n-3)(2n-1)(2n+1)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \dotsm (2n-5)(2n-3)(2n-1)\quad\quad\quad} \\ &=\frac{\cancel{1 \cdot 3 \cdot 5} \dotsm \cancel{(2n-5)}\cancel{(2n-3)}\cancel{(2n-1)}(2n+1)}{\cancel{1 \cdot 3 \cdot 5} \dotsm \cancel{(2n-5)}\cancel{(2n-3)}\cancel{(2n-1)}\quad\quad\quad} \\ &=2n+1 \end{align}$$

También podría tratarse simplemente de una cuestión de espaciado: los alumnos podrían confundirse al ver el $2n+1$ directamente sobre el $2n-1$ . He intentado formatear lo anterior para enfatizar que el $2n+1$ es un factor extra que no aparece en el fondo.

Por último, también podría ser útil elegir un pequeño $n$ y elaborar el producto de forma concreta.

Answer 2

Podría haber ayudado si usted hizo la ecuación a la inversa, pero parece que no están viendo el patrón general, a saber, que el $j$ ésimo factor en $1 \cdot 3\cdots \cdot (2n + 1)$ es $2j - 1$ . Si pudieras explicar eso, entonces entenderán que el $n$ de la secuencia es $2n - 1$ y el $n+1$ st factor es $2(n+1) - 1 = 2n + 1$ .

Answer 3

Una imagen vale más que mil palabras .

Basta con poner un ejemplo con un valor suficientemente grande de $n$ nada funciona mejor.

Supongamos que $n=10$ entonces:

• $1\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot(2n+1)=$
• $1\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot21=$
• $1\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot19\cdot21=$
• $1\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot(2n-1)\cdot(2n+1)$

Los ejemplos numéricos también son muy útiles cuando se abordan problemas relacionados con series/secuencias, ya que permiten comprender el comportamiento de la expresión en cuestión antes de intentar demostrarlo.

Así que esta técnica también podría ayudar a sus alumnos con tareas más avanzadas en el futuro...

Answer 4

Yo sugeriría poner algunas var por ejemplo n=3 , y obligarles a escribir números en dos filas [ ] $$n=3 \to 2n+1=2(3)+1=7 \to1.3.5.7 \\2n-1=2(3)-1=5 \to 1.3.5\\ \frac{1.3.5...(2n+1)}{1.3.5...(2n-1)}=\frac{1.3.5.7}{1.3.5}$$