Grupo finito con elementos de ordenado

Question

Hace un par de semanas, no era una cuestión de MSE que tengo editado, tan pronto como la pregunta fue respondida bastante bien, de acuerdo a la OP. En fin, creo que esta pregunta recibió revertido a su pregunta original y todas las posteriores preguntas fueron simplemente olvidado. Es la última pregunta que he visto, sin embargo, que a mí me interesa y me parece que no lo encuentre, así que supongo que no ha sido hecho antes o desde entonces.

La pregunta era: Dado $a,b,c\in\mathbb{N}$, encontramos un finito grupo $G$ contiene elementos $x$$y$, de tal manera que $x$ tiene fin $a$, $y$ tiene orden de $b$ $xy$ orden $c$.

Esta pregunta debía ser de un curso de básico de la teoría de grupo, pero no puedo encontrar una respuesta fácil, sin embargo. Por tanto, la pregunta es lo que yo estoy pidiendo así. Lo que he intentado/observado hasta ahora: El grupo $G$ del curso no será abelian, en general. Lo que me consideren los dos enfoques no me consiguen en cualquier lugar:

1) Intenta a través de presentaciones de grupo. Ingenuo intento: $G=\langle x,y,z\mid x^a=1, y^b=1, z^c=1, xy=z\rangle$. Esta muy bien satisface los requisitos (a), pero parece no ser finito. Al menos, no veo la manera de $x^2y=xz$ va a ser finito de orden, a menos que $a=2$. Esto podría ser un problema, si $G$ tiene que ser finito.

2) Algún tipo de versión retorcida de $C_a\times C_b\times C_c$ donde $C_n$ es el grupo cíclico de orden $n$ y donde el producto de los generadores de dos grupos cíclicos se envía al generador de la tercera. De nuevo, esto se cumple con los requisitos en el orden (donde $x$ $y$ son los generadores de $C_a$$C_b$), pero esta vez no estar bien definidos. Ya podemos ejecutar en problemas por bastante pequeño $a,b,c$: tome $a=2, b=c=3$, llamar a los elementos de identidad $1$ y los generadores de $C_a, C_b, C_c$ resp. $r,s,t$. A continuación, $(1,s^2,1)(1,1,t^2) = (1,s,1)(r,1,1)(1,1,t)$ y si hacemos los dos de la mano izquierda términos de la primera, esta sería la $(1,1,t^2)$, mientras que sería $(1,s^2,1)$ si la mano derecha de términos se multiplica primero.

Todavía tengo la sensación de que habrá un grupo de orden $abc$ que cumple con los requisitos. Posiblemente incluso sólo un poco alterado versión de uno de los de arriba. O algo muy estúpido, me estoy perdiendo...

Answer 1

Como se sugirió anteriormente, empezar con el von Dyck grupo $$ G=V(a,b,c)=<X,Y,Z XY=Z, X^a=1, Y^b=1, Z^c=1>. $$ Dicho grupo es finito (si $a^{-1}+ b^{-1}+ c^{-1}>1$) o se integra en el grupo de isometría del plano Euclidiano (si $a^{-1}+ b^{-1}+ c^{-1}=1$) o del plano hiperbólico $SO(2,1)$ (si $a^{-1}+ b^{-1}+ c^{-1}<1$). En el primer caso está hecho, así que considera los dos restantes. En ambos casos, el grupo de $G$ es un finitely generado por la matriz del grupo. Por lo tanto, es residual finito por Malcev del teorema (1940), véase, por ejemplo, arXiv:1306.2385 para una buena auto-contener la prueba. Residual de la finitud significa que para cada subconjunto finito $S\subset G \setminus 1$, existe un homomorphism $f: G\to F$, $F$ finito y $f(S)$ disjunta de 1. Usted quiere asegurarse de que $x=f(X), y=f(Y), z=f(Z)$ tienen órdenes de $a, b, c$ respectivamente. Para conseguir esto, tome el subconjunto $S_o\subset G$ a consistir de elementos $X, X^2,..., X^{a-1}$, $Y, Y^2, ..., Y^{b-1}$, $Z, Z^2, ..., Z^{c-1}$. Ahora, aplique Malcev del teorema. Usted obtener lo finito grupo $F$ contiene elementos $x, y, z$$xy=z$, de modo que las órdenes de estos elementos se $a, b, c$ respectivamente. Como se observa en los comentarios, también obtenemos infinitamente muchos de esos grupos siempre que $a^{-1}+ b^{-1}+ c^{-1}\le 1$, mientras que el grupo de $G$ es infinito en este caso (y, por lo tanto, tenemos infinidad de subconjuntos finitos $S$ trabajar, siempre que todos ellos contienen $S_o$).