Teoría de los modelos (Hodges), sección 2.1, ejercicio 13

Question

Dejemos que $K$ sea un campo de característica 0, $n$ un número entero positivo, y $G$ el grupo $GL_n(K)$ de transformaciones lineales invertibles en $K^n$ . Demuestre que los siguientes subconjuntos de $G$ son $\emptyset$ -definible: (a) el conjunto de todas las matrices escalares; (b) el conjunto de todas las matrices que son similares a una matriz diagonal con escalares distintos en la diagonal principal; (c) el conjunto de matrices diagonalizables.

Mi pregunta es la siguiente. ¿Estamos viendo $G$ un modelo de la teoría de grupos y se le pide que defina subconjuntos de $G$ en el lenguaje de los grupos, o estamos viendo $K$ como un subconjunto definible de $K^{n^2}$ y se le pide que defina subconjuntos de $G$ ¿en el lenguaje de los campos? Mi primer pensamiento fue el primero, pero empiezo a pensar que la intención es la segunda.

Answer 1

Estoy bastante seguro de que es esto último. Este ejercicio es sobre grupos algebraicos lineales, que son una clase específica de grupos algebraicos, que a su vez son grupos definibles en campos (algebraicamente cerrados). Si hay grupos definibles en cualquier lugar cerca de este ejercicio, hay poco espacio para la duda.

No creo que el ejercicio sea siquiera realizable en la otra interpretación. Es fácil definir matrices escalares (sólo el centro), pero dudo que se puedan definir matrices diagonales utilizando sólo el lenguaje de grupos en $GL_n$ .