¿Derivación de la viscosidad utilizando la teoría cinética básica?

Question

Esta pregunta se ha hecho en parte antes de la pregunta, la teoría Cinética de la derivación de la viscosidad de un gas a pesar de que el dado aceptado respuesta no dar los detalles necesarios para la parte de la pregunta que más me interesa.

Voy a dar primero una derivación de la viscosidad como yo he aprendido de él (este es el mismo método que se ha dado en los Conceptos en Física Térmica' por Blundell, Blundell y numerosas otras fuentes).

Derivación de la viscosidad

Suponiendo que tenemos un gradiente de la $x$ componente de la media de la velocidad, $u_x$, en el $z$ dirección, de tal manera que: $$\frac{\partial u_x}{\partial z}\ne 0$$ El impulso de flujo (de la $x$ impulso en la $z$ dirección) está dada por: $$\Pi_{xy}=-\eta \frac{\partial u_x}{\partial z}$$ Donde $\eta$ es, por definición, la viscosidad del gas. El flujo de partículas a través de la superficie de la $z=z_0$ (que es el número de partículas por unidad de área por unidad de tiempo) es dada por: $$\mathrm{d}\Omega=nv_z f(v_z)\mathrm{d}v_z$$ Podemos suponer que estas partículas tienen una dio a luz en promedio una distancia $\lambda_{mfp}$ antes de cruzar el plano y su última colisión, lo que significa que se inició en una posición $z=z-\lambda cos(\theta)$ y por lo tanto llevan con ellos un exceso en el momento de: $$\Delta p=m(u_x(z-\Delta z)-u_x(z))$$ $$\approx m\lambda \cos(\theta) \frac{\partial u_x}{\partial z}$$ Significado el impulso de flujo a través de la superficie está dada por: $$\Pi_{xy}= \int \Delta p \mathrm{d} \Omega$$ $$=\int m\lambda \cos(\theta) \frac{\partial u_x}{\partial z} \mathrm{d} \Omega$$ ...

Tengo varios problemas relacionados con esta derivación, ninguno de los cuales se explican claramente en el anterior relacionado pregunta.

1. ¿Por qué hemos asumido que la partícula tiene el valor de $u_x$ en la posición de su última colisión.

2. ¿Por qué asumimos que la partícula tiene una dio a luz a una distancia de $\lambda_{fmp}$ entre su última colisión y de cruzar la frontera. Las partículas que no se encuentran en la frontera de llevar también un impulso a través de la frontera y por lo tanto contribuir al impulso de flujo.

3. ¿Por qué estamos usando el 'exceso' momentum $\Delta p$ la partícula lleva a través de la frontera lugar, a continuación, el momentum total $p$. Si una partícula cruza el límite contribuye un impulso $p$ para el flujo total a través de la frontera no $\Delta p$.

Por favor, alguien puede dar una (intuitivo) explicación de estos puntos.

Answer 1

1) Hay más cuidadosamente derivados de los valores, asumiendo una distribución de partículas (no tengo la referencia aquí), pero en lugar de considerar todas las partículas distribuidas entre las diferentes posiciones y las velocidades, nos permite tomar todos ellos de igual a igual "típico" de las partículas: la una con la velocidad típica de, digamos, la mediana de la velocidad de la $u_x$; la media en lugar de la mediana también podrían haber sido utilizados. Sólo se diferencian en un factor, que no es realmente importante (véase la respuesta (2)).

2) El típico de las partículas se ha movido la distancia típica antes de cruzar la frontera. Es acerca de $\lambda_{fmp}$ o, quizá mejor, $\lambda \cos{\theta}$. Pero esta es una muy burda aproximación. He visto derivaciones cuando se considera que el ser $1/2 \lambda$ (suponiendo que las moléculas de golpear el área de la unidad vienen desde todas las distancias entre 0 y λ; igualmente distribuido), o, calculado en más detalle, $1/3 \lambda$ (F. Reif, la Estadística y la Física Térmica (McGraw-Hill), Ch. 12: http://physics.bu.edu/~redner/542/refs/reif-chap12.pdf.). Incluso este último factor no es muy preciso, porque, como indica el autor: "Nuestro cálculo ha sido muy simplificada y descuidados acerca de la manera exacta en diversas cantidades deben ser promediadas. Por lo tanto el factor de 1/3 es que no se puede confiar demasiado".

3) Usted no debe usar el momentum total, pero sólo la diferencia. Usted puede ver esta forma intuitiva haciendo notar que, desde el otro lado de la superficie va a ser el mismo número de partículas que atraviesan de nuevo con ímpetu $p-\Delta p$. Así, la transferencia neta es sólo $\Delta p$

Answer 2

Responder a sus preguntas

Primero vamos a tomar una perspectiva amplia; lo que es esta pregunta? Es como preguntar "supongamos que el fluido tiene una velocidad de gradiente a través de ella, $u_x(z)$ no es constante, ¿cómo es que la velocidad gradiente de crear una fuerza en el plano del líquido debajo?" El hecho de que $u_x(z)$ no es constante, es muy importante, como es el hecho de que varía sólo linealmente a lo largo de una distancia de varios libre medio de los caminos.

Primero, ¿por qué usamos la velocidad a cierta distancia de la frontera? Y es porque estamos aproximación de este líquido con muy corto alcance de las interacciones (por ejemplo, el billar de bola modelo) donde el impulso-vectores de partículas (incluyendo cada componente, por lo tanto $u_x$) no va a cambiar sustancialmente entre las interacciones. Estamos diciendo: Colisiones cambio ímpetus! Pero aparte de eso vamos a pretender que el impulso no cambia! Así que cuando una partícula viene a través de esta superficie, se "dar marcha atrás" a la posición que tenía antes.

Segundo, sí que es una especie de un matemáticamente incorrecta declaración, pero resulta ser la correcta. Así, durante un intervalo de tiempo $dt$, una cierta cantidad $dn$ de las partículas vienen a través de esta superficie. Ahora supongamos que el rastro, nos encontramos con que si la situación es bastante homogéneo que la probabilidad de interacción entre el $\ell$ $\ell + d\ell$ es igual a la probabilidad de interacción entre eso y $\ell + 2d\ell,$ a continuación, se debe tener un exponencial de la variable aleatoria $dp_{\text{interaction at distance }\ell} = \lambda^{-1} ~\exp(-\ell/\lambda)~d\ell.$ Aviso que $\int \ell dp(\ell) = \lambda$ es el camino libre medio, resulta que puede desarrollar cualquier distribución de probabilidad de aquí.

Y eso es porque si $\lambda$ es lo suficientemente pequeño que podemos linealizar $u_x(z - \ell) \approx u_x(z) - u_x'(z)~\ell$ para la mayoría de los de esta probabilidad de densidad, entonces la típica $u_x$ realiza a través de la barrera va a ser $int (u_x(z) - u_x'(z)~\ell) dp(\ell) = u_x(z) - u_x'(z)~\lambda.$ El primer término de la siguiente manera porque la probabilidad de densidad está normalizada y se integra a 1; el segundo término de la siguiente manera debido a la integración de $\ell$ sobre la densidad de probabilidad da el camino libre medio.

Por lo que se deduce del hecho de que estamos alineando $u_x(z)$$0 > z > -10\lambda$, dicen, así que la única suposición acerca de la $p(\ell)$ es que decae más rápidamente que la velocidad hace por $\ell \gg \lambda.$

Tercero, porque queremos saber cuánto extra impulso estamos absorbiendo en un tiempo determinado! Permítanme totalmente cop-out de este uno de esta manera: Hay un marco de referencia donde el $u_x$ a de este punto el límite es cero. Podemos utilizar este marco de referencia para calcular la fuerza al ver cómo su velocidad tiende a cambiar más de una unidad de tiempo! Aquí la velocidad está cambiando debido al transporte convectivo de partículas con algunos x-velocidad-componente $u_x(z-\ell) \ne u_z(z)$ en nuestro volumen de control, bajar/subir el total $x$-velocidad en ese espacio.

Por separado, de forma rápida derivación

Supongamos que un objeto se está moviendo a la velocidad a la $v$ a través de un fluido; me gusta pensar que lentamente de corte a través del fluido con la hoja de una navaja. Podemos imaginar que, hasta que empieza a "recoger" las partículas en su superficie frontal, las partículas de aciertos de sus lados con algunas características de pequeña escala de tiempo $\tau,$ y que cada vez que una partícula golpea, le dará a esa partícula algunos de velocidad proporcional a $v$. Por lo tanto, en un tiempo de $dt$ habrá algún número $dt/\tau$ de las partículas que se han dado un impulso a $\alpha v$ correspondiente a una fuerza de reacción debido a la conservación del momentum aspecto de $-\alpha v / \tau.$ Lo que esto significa es que la fuerza es proporcional a la velocidad de la partícula, "lineal arrastre", característica de una normal viscoso interacción.

Answer 3

He leído ya a su primera pregunta, la teoría Cinética de la derivación de la viscosidad de un gas ,donde su punto era poco dijo esto;

Mi problema con este bit es, ¿por qué no acabamos de encontrar el momento total en lugar de la cantidad en que excede el impulso de esa capa?

Su pregunta es muy interesante, y te tienes que ir a conceptos muy básicos. Por favor, tenga en cuenta que en la teoría Cinética se supone que todo es cuestión de colisiones;

Excepto durante las colisiones, las interacciones entre las moléculas son insignificantes. (Es decir, ejercer ninguna fuerza sobre el uno al otro.) Esto implica:

1. Efectos relativistas son insignificantes.
2. Mecánica cuántica efectos son insignificantes. Esto significa que la inter-partícula de la distancia es mucho mayor que la térmica de de Broglie la longitud de onda y las moléculas son tratados como clásica objetos.
3. Porque de los dos anteriores, su dinámica puede ser tratado clásico. Esto significa que las ecuaciones de movimiento de las moléculas se el tiempo reversible.

Pero si usted acaba de pensar de la viscosidad, que de inmediato se nota, que es mucho más que simplemente una colisión. Sólo pensar en la cuchara de la miel o el jarabe, y cómo sigue la cuchara cuando se la saca de la olla. Esta atracción es la mecánica Cuántica, es muy similar a las de los imanes tirando de cada uno de los demás; y estas fuerzas no son despreciables! Así que su problema básico es que usted realmente no puede realmente explicar la viscosidad a través de la teoría cinética. Usted puede tener resultados útiles para la medida de la cantidad de líquido que es completamente turbulento, pero eso es simplemente porque la Turbulencia es colisiones, y por lo tanto sólo se ajusta a la de la teoría Cinética. -Las matemáticas funciona, pero no describe la verdadera física detrás del fenómeno.

Para concluir esto, a pesar de que la teoría Cinética predice con bastante exactitud el viscoso-como el comportamiento de los gases, la idea detrás de este thery no es muy correcto, y por lo tanto las respuestas a sus preguntas;

1. ¿Por qué hemos asumido que la partícula tiene el valor de $u_x$ en la posición de su última colisión.
2. ¿Por qué asumimos que la partícula tiene una dio a luz a una distancia de $λ_{fmp}$ entre su última colisión y de cruzar la frontera.
3. ¿Por qué estamos usando el 'exceso' momentum $Δp$ la partícula lleva a través de la frontera lugar, a continuación, el momentum total $p$.

son; porque estas simplificación funciona con una exactitud razonable en la típica vida real alcance. Pero si estudio sobre la amplia gama, se nota fácilmente cómo las simplificaciones que deja de funcionar; es decir,. la Presión tiene una influencia en la viscosidad. La teoría Cinética es sólo un teórico, un modelo simplificado que realmente funciona sólo con un teórico de gas. Es la capacidad para explicar real de los fenómenos (como la viscosidad), por lo tanto es bastante limitada.

Espero que esta ayuda hacia adelante. He aquí algunos pensamientos sobre las cosas; Sería una solución a la Navier-Stokes Milenio Problema tiene ningún consecuencias prácticas?