Mostrar $\mathbb{Z}_2 \cong \mathbb{D}_2$

Question

Hola una vez más a todos. Un ejercicio de tarea en el que estoy trabajando me pide que muestre $\mathbb{Z}_2 \cong \mathbb{D}_2$ (el grupo diédrico). Sé que $\mathbb{Z}_2$ es cíclico y está generado por $1$ pero he intentado mostrar que $\mathbb{D}_2$ con elementos $(1,2)$ y $(2,1) $ es generado por $(1,2)$ o $(2,1)$ bajo la suma o la multiplicación, pero no encuentro cómo demostrarlo para establecer un isomorfismo entre el $\mathbb{Z}_2$ y $\mathbb{D}_2$ . ¿Puede alguien darme una pista? Como siempre, muchas gracias por su apoyo.

Answer 1

Asigna las identidades entre sí. No puede haber otra opción.

Answer 2

Tenemos que $$(\mathbb Z_2, +) = \{0, 1\}\;\; \text{under addition modulo}\;2,$$ y tenemos que $$(D_2, \circ) = \{\text{id}\,, (1\;2)\} \;\text{under reflection (a permutation)}$$

Tenga en cuenta que al escribir el elemento no identitario en $D_2$ en notación cíclica, como has hecho tú, $(1\;2) = (2\;1)$ La operación de reflexión/grupo viene dada por la permutación de puntos $\;1 \longleftrightarrow 2,\;$ y $\text{id}\;$ es simplemente el elemento de identidad "no hacer nada".

El generador de $\mathbb Z_2$ es de hecho $1$ y el generador de $D_2$ es la reflexión $(1\;2)$ .

Si se asigna identidad a identidad, generador a generador, se obtiene el isomorfismo.

$$0\in \mathbb Z_2 \mapsto \text{id}\in D_2$$ $$1 \in \mathbb Z_2 \mapsto (1\;2) \in D_2$$

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Nota: pronto aprenderás que hay exactamente un grupo de orden 2, hasta el isomorfismo. Es decir, todo grupo de orden 2 es isomorfo a $\mathbb Z_2.\;$ Por muchas razones: Un isomorfismo siempre mapea identidad a identidad, generador a generador, por lo que sólo hay una forma de mapear dos elementos a dos elementos.

Pero también sabemos que sólo hay un grupo, hasta el isomorfismo, de orden $3$ : Como comenta JavaMan más abajo: Todos los grupos de orden $3$ son isomorfas a $\mathbb Z_3.\;$ En efecto, para cualquier primo $p$ existe, hasta el isomorfismo, exactamente un grupo: si $p$ es algún primo, entonces todo grupo de orden $p$ es cíclico e isomorfo a $\mathbb Z_p$ .

Answer 3

Sugerencia

$$\mathbb Z_2=\{\overline{1},-\overline{1}\}\quad;\quad \mathbb D_2=\{\mathrm{id},\mathrm{r}\}$$ donde $\mathrm{r}$ es un reflejo así que puedes ver que podemos identificar $\overline{1}\leftrightarrow \mathrm{id}$ y $-\overline{1}\leftrightarrow \mathrm{r}$ ?