Voy a tratar de darle una rápida visión general sobre la estrategia de la prueba de la FLT. Por supuesto, no puedo evitar usar las herramientas técnicas, tales Galois representación. Si usted no sabe acerca de estas cosas, espero que al menos puedes seguir la "forma" del argumento.
La partida de observación es la siguiente: para $n\in\mathbb N$, vamos FLT($n$) la declaración de "no hay triples $(a,b,c)$ de enteros con $abc\neq 0$ tal que $a^n+b^n=c^n$". Entonces es elemental ver que el FLT($d$) implica FLT($n$) siempre que $d\mid n$. Por lo tanto, es suficiente para demostrar FLT($p$) por cada impar prime $p$ $n=4$ con el fin de demostrar FLT($n$) para todos los enteros positivos $n\geq 3$. Los casos de $p=3$ $n=4$ ya eran conocidos por Euler, creo, y puede ser demostrado por métodos de primaria, por lo que podemos asumir que $p\geq 5$.
Ahora el no-elementales de matemáticas. Supongamos que existe un triple de números enteros $(a,b,c)$, lo que contradice el FLT($p$) para algunos de los mejores $p$. Uno puede construir la siguiente curva elíptica sobre $\mathbb Q$:
$$E_{a,b,c}\colon y^2=x(x-a^p)(x-b^p)$$
Es posible demostrar (suponiendo wlog que $(a,b,c)$ es un coprime triple, $a\equiv -1\bmod 4$$2\mid b$) que este es un semistable de curva elíptica cuyo conductor es $\prod_{l\mid abc}l$.
Por otra parte, Serre y Frey demostrado el siguiente teorema: vamos a
$$\overline{\rho}_{a,b,c}\colon \text{Gal}(\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q)\to GL_2(\mathbb F_p)$$
ser el residual de Galois de la representación en $p$ conectado a $E_{a,b,c}$. Entonces:
- $\overline{\rho}_{a,b,c}$ es absolutamente irreductible;
- $\overline{\rho}_{a,b,c}$ es impar;
- $\overline{\rho}_{a,b,c}$ es unramified fuera de $2p$ y plana en $p$
La idea clave es entonces la siguiente: supongamos que podemos mostrar que para cada (semistable) de curva elíptica $E$ $\mathbb Q$ la representación $\overline{\rho}_E$ es la representación residual de la $p$-ádico Galois representación unido a un peso $2$ newform $f_E$. Luego podemos aplicar el teorema de Ribet, utilizando las propiedades de $\overline{\rho}_{a,b,c}$, para mostrar que, para $\overline{\rho}_{a,b,c}$, se puede elegir un newform en $S_2(\Gamma_0(2))$. Pero entonces tenemos un gran problema: este espacio es $0$-dimensional! Por lo tanto, nos lleva a una contradicción, y no puede haber ningún triple $(a,b,c)$ contradiciendo FLT($p$).
Todo este argumento ya era conocida mucho antes de Wiles' la prueba. Pero lo que faltaba era la prueba de la (hoy) llamado modularidad teorema: cada curva elíptica sobre $\mathbb Q$ es modular, es decir, su $p$-ádico Galois representación es el $p$-ádico Galois representación unido a un peso $2$ newform.
Aunque esta fue la única parte que falta, es por lejos el más difícil! Wiles fue capaz de demostrar que para semistable curvas, lo cual era suficiente para demostrar la FLT, pero algunos años más tarde, el resultado ha sido mejorado para todas las curvas elípticas sobre $\mathbb Q$ por Breuil, Conrad, Diamon y Taylor.
De todos modos, si usted está interesado en más detalles, puedes leer la (increíble) primer capítulo de "las formas Modulares y el último teorema de Fermat", por Cornell, Silverman y Stevens, eds. Por supuesto que es un libro de matemáticas, por lo que necesita algunos antecedentes en este tipo de temas con el fin de entenderlo.
