¿Cuándo se puede medir una simetría global?

Question

Tome un clásico de la teoría de campo descrito por un local de Lagrange dependiendo de un conjunto de campos y sus derivados. Supongamos que la acción posee algunas mundial de la simetría. ¿Qué condiciones deben cumplirse para que esta simetría se puede medir? Para dar un ejemplo, la libre de Schrödinger, la teoría del campo está dada por el Lagrangiano $$ \mathscr L=\psi^\daga\biggl(i\partial_t+\frac{\nabla^2}{2m}\biggr)\psi. $$ Aparte de la habitual $U(1)$ transformación de fase, la acción es también invariante bajo independiente turnos, $\psi\to\psi+\theta_1+i\theta_2$, de las partes real e imaginaria de $\psi$. Parece que este tipo de cambio de simetría no puede ser medido, aunque no puedo probar esta afirmación (que me corrija si me equivoco). Esto parece estar relacionado con el hecho de que la Mentira de álgebra de la simetría necesariamente contiene una central de carga.

Así que mis preguntas son: (i) ¿cómo es la (im)posibilidad de calibre mundial de simetría relativa a la central de los cargos en su Mentira álgebra?; (ii) se puede formular el criterio de "gaugability" directamente en términos de Lagrange, sin hacer referencia a la estructura canónica, tales como los corchetes de Poisson de los generadores? (Tengo en mente Lagrangians con mayor campo de derivados.)

N. B.: Por la medición de la simetría me refiero a agregar un fondo, no dinámico, medidor de campo, lo cual hace que la acción invariante gauge.

Answer 1

El principio es: "Anómalo de las simetrías no se puede medir". El fenómeno de las anomalías no se limita a las teorías cuánticas del campo. Anomalías también existen en el clásico campo de las teorías ( traté de hacer hincapié en este punto en mi respuesta a esta pregunta) .

(Como ya se mencionó en la pregunta), en el clásico de nivel, una simetría es anómala cuando la Mentira álgebra de su realización, en términos de los campos y su conjugado momenta (es decir, en términos de la distribución de Poisson álgebra de el Lagrangiano de la teoría de campo) se desarrolla una extensión con respecto a su en la acción de los campos. Este es exactamente el caso del complejo campo de turno en la Schrödinger de Lagrange.

En Galileo (clásica) campo theoties, la existencia de anomalías es acompañado por la generación de un total de derivados de incremento para el Lagrangiano, que de nuevo se manifiesta en el caso del campo de turno de la simetría de la Schrödinger de Lagrange, pero esto no es un requisito general. (favor de ver de nuevo mi respuesta anterior se refería a la generación de masa como una extensión central en la mecánica de Galileo).

En una terminología más moderna, la imposibilidad de medir que se denomina como una obstrucción a equivariant extensiones de la Lagrangians. Un trivial de la familia de los clásicos Lagrangians, exhibiendo trivial obstrucciones, son Lagrangians que contiene Wess-Zumino-Witten términos. Dadas estas condiciones sólo anomalía libre de subgrupos de los grupos de simetría se puede medir (clásico). Estos subgrupos consisten exactamente de la anomalía de los libres. La medición y la obstrucción puede ser obtenido utilizando la teoría de equivariant cohomology, por favor, consulte el siguiente artículo por Compean y Paniagua y su lista de referencia.

Answer 2

I) el tema de La medición global de simetrías es un gran tema, que es difícil de encajar en un Phys.SE la respuesta. Supongamos por simplicidad sólo considerar una sola (y por lo tanto necesariamente Abelian) continua transformación infinitesimal$^1$

$$ \tag{1} \delta \phi^{\alpha}(x)~=~\varepsilon(x) Y^{\alpha}(\phi(x),x), $$

donde $\varepsilon$ es un infinitesimal parámetro real, y $Y^{\alpha}(\phi(x),x)$ es un generador, de tal manera que la transformación (1) es un cuasi-simetría$^2$ de la densidad Lagrangiana

$$ \tag{2} \delta {\cal L} ~=~ \varepsilon d_{\mu} f^{\mu} + j^{\mu} d_{\mu}\varepsilon $$

siempre que $\varepsilon$ $x$- independiente global parámetro, de tal manera que el último término en el lado derecho. de eq. (2) se desvanece. Aquí $j^{\mu}$ y

$$ \tag{3} J^{\mu}~:=~j^{\mu}-f^{\mu}$$

son el vacío y el lleno Noether corrientes, respectivamente. El correspondiente en la cáscara ley de la conservación de lee$^3$

$$ \tag{4} d_{\mu}J^{\mu}~\approx~ 0, $$

cf. Noether del primer Teorema. Aquí $f^{\mu}$ son los llamados mejora de los términos, que no está definida de forma única a partir de la eq. (2). Bajo suave supuestos, es posible corregir parcialmente esta ambigüedad, asumiendo las siguientes condiciones técnicas

$$ \tag{5}\sum_{\alpha}\frac{\partial f^{\mu}}{\partial(\partial_{\nu}\phi^{\alpha})}Y^{\alpha}~=~(\mu \leftrightarrow \nu), $$

que será importante para el Teorema 1, a continuación. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que el original de la densidad Lagrangiana

$$ \tag{6} {\cal L}~=~{\cal L}(\phi(x), \partial \phi(x); A(x),F(x);x). $$

depende ya (posiblemente trivialmente) en el $U(1)$ medidor de campo $A_{\mu}$ y su Abelian de intensidad de campo

$$\tag{7} F_{\mu\nu}~:=~\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}.$$

El infinitesimal Abelian medidor de transformación se define a ser

$$ \tag{8} \delta A_{\mu}~=~d_{\mu}\varepsilon. $$

Vamos a presentar la derivada covariante

$$ \tag{9} D_{\mu}\phi^{\alpha}~=~\partial_{\mu}\phi^{\alpha} - A_{\mu}Y^{\alpha}, $$

que transforma covariantly

$$ \tag{10} \delta (D_{\mu}\phi)^{\alpha}~=~\varepsilon (D_{\mu}Y)^{\alpha}$$

bajo calibre transformaciones (1) y (8). Entonces se puede demostrar que bajo suave supuestos el siguiente Teorema 1.

Teorema 1. El medidor de transformaciones (1) y (8) son un cuasi-simetría de las siguientes llamado medir la densidad Lagrangiana

$$ \tag{11} \widetilde{\cal L}~:=~ \left.{\cal L}\right|_{\partial\phi\to D\phi}+\left. A_{\mu} f^{\mu}\right|_{\partial\phi\to D\phi}. $$

II) Ejemplo: Libre de Schrödinger, la teoría de campo. La función de onda $\phi$ es un complejo (Grassmann-incluso) de campo. El Lagrangiano de la densidad de lee (poner $\hbar=1$):

$$ \etiqueta{12} {\cal L} ~=~ \frac{i}{2}(\phi^*\partial_0\phi \phi \partial_0\phi^*) - \frac{1}{2m} \sum_{k=1}^3(\partial_k\phi)^*\partial^k\phi. $$

La correspondiente Euler-Lagrange ecuación es la libre ecuación de Schrödinger

$$ 0~\aprox~\frac{\delta S}{\delta\phi^*} ~=~ i\partial_0\phi~+\frac{1}{2m}\partial_k\partial^k\phi $$ $$ \etiqueta{13} \qquad \Leftrightarrow \qquad 0~\aprox~\frac{\delta S}{\delta\phi} ~=~ -i\partial_0\phi^*~+\frac{1}{2m}\partial_k\partial^k\phi^*. $$

La transformación infinitesimal es

$$ \etiqueta{14} \delta \phi~=~Y\varepsilon \qquad \Leftrightarrow \qquad \delta \phi^*~=~Y^*\varepsilon^*, $$

donde $Y\in\mathbb{C}\backslash\{0\}$ fijo es un no-cero de número complejo. Tenga en cuenta que el Teorema anterior 1 sólo es aplicable a un solo real de transformación (1). Aquí estamos tratando de aplicar el Teorema 1 para un complejo de transformación, así que no puede tener éxito, pero vamos a ver que tan lejos podemos llegar. El complexified Noether corrientes son

$$ \etiqueta{15} j^0~=~ \frac{i}{2}Y\phi^*, \qquad j^k~=~-\frac{1}{2m}Y\partial^k\phi^*, \qquad k~\~\{1,2,3\},$$

$$ \tag{16} f^0~=~ -\frac{i}{2}Y\phi^*, \qquad f^k~=~0, $$

$$ \etiqueta{17} J^0~=~ iY\phi^*, \qquad J^k~=~-\frac{1}{2m}Y\partial^k\phi^*, $$

y la correspondiente conjugado complejo de relaciones de nca. (15)-(17). El infinitesimal complejo medidor de transformación se define a ser

$$ \etiqueta{18} \delta A_{\mu}~=~d_{\mu}\varepsilon \qquad \Leftrightarrow \qquad \delta A_{\mu}^*~=~d_{\mu}\varepsilon^*. $$

El Lagrangiano de la densidad (11) lee

$$ \widetilde{\cal L} ~=~\frac{i}{2}(\phi^*D_0\phi \phi D_0\phi^*) - \frac{1}{2m} \sum_{k=1}^3(D_k\phi)^*D^k\phi +\frac{i}{2}(\phi Y^* A_0^* - \phi^*Y A_0) $$ $$ \etiqueta{19} ~=~\frac{i}{2}\left(\phi^*(\partial_0\phi-2Y A_0) - \phi (\partial_0\phi-2YA_0)^*\right) - \frac{1}{2m} \sum_{k=1}^3(D_k\phi)^*D^k\phi . $$

Hacemos hincapié en que la densidad Lagrangiana $\widetilde{\cal L}$ es no sólo la cirugía mínimamente junto original de Lagrange de la densidad de $\left.{\cal L}\right|_{\partial\phi\to D\phi}$. El último término en el lado derecho. de eq. (11) también es importante. Un infinitesimal medidor de transformación de la densidad Lagrangiana es

$$ \tag{20} \delta\widetilde{\cal L}~=~\frac{i}{2}d_0(\varepsilon^*Y^*\phi -\varepsilon Y\phi^*) + i|Y|^2(\varepsilon A_0^* - \varepsilon^* A_0) $$

para arbitrario infinitesimal $x$-locales dependientes de calibre parámetro $\varepsilon=\varepsilon(x)$. Tenga en cuenta que el local complejo de transformaciones (14) y (18) es no una (cuasi) medidor de simetría de la densidad Lagrangiana (19). La obstrucción es el segundo término en el lado derecho. de eq. (20). Sólo el primer término en el lado derecho. de eq. (20) es un tiempo total de derivados. Sin embargo, nos vamos a restringir el indicador del parámetro $\varepsilon$ y el medidor de campo $A_{\mu}$ a pertenecer a un fijo complejo de dirección en el plano complejo,

$$ \tag{21}\varepsilon,A_{\mu}~\in ~ e^{i\theta}\mathbb{R}.$$

Aquí $e^{i\theta}$ es algunos fijos fase factor, es decir, salimos de un solo real de calibre d.o.f. A continuación, el segundo término en el lado derecho. de eq. (20) se desvanece, por lo que el calibrado de Lagrange densidad (19) tiene un real (cuasi) medidor de simetría, de acuerdo con el Teorema 1. Tenga en cuenta que el campo de $\phi$ es todavía totalmente de variable compleja, incluso con la restricción (21). También tenga en cuenta que la densidad Lagrangiana (19) puede manejar tanto el real y el imaginario local turno de transformaciones (14), como (casi) medidor de simetrías a través de la restricción de la construcción (21), aunque no simultáneamente.

III) Una lista incompleta de estudios adicionales:

1. Peter West, Introducción a la Supersimetría y la Supergravedad, 1990, Cap. 7.

2. Henning Samtleben, Conferencias sobre el Calibrado de Supergravedad y el Flujo Compactifications, de la Clase. Quant. Grav. 25 (2008) 214002, arXiv:0808.4076.

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$^1$ La transformación (1) es la simplicidad se supone ser un llamado de la vertical de la transformación. En general, se podría también permitir horizontal contribuciones de la variación de $x$.

$^2$ De la noción de cuasi-simetría, ver, por ejemplo, este Phys.SE la respuesta.

$^3$ Aquí el $\approx$ símbolo significa la igualdad modulo ecuación de movimiento (e.o.m). Las palabras en la cáscara y off-shell se refieren a si el correo.o.m. está satisfecho o no.

Answer 3

Primero de todo, uno no puede evaluar la simetría sin modificar (enriquecer) el contenido del campo. Medición de una simetría significa para agregar un medidor de campo y de las interacciones apropiadas (por ejemplo, por covariantize todos los términos con derivados, tanto en el caso de Yang-Mills y diffeomorphism simetrías).

Global y el indicador de simetrías son entidades diferentes cuando se trata de sus interpretaciones físicas; pero también son entidades diferentes cuando se trata del grado de simetría que en realidad llevar.

En cuanto a la última diferencia, la simetría es un medidor de simetría si los parámetros de las transformaciones $\lambda$ puede depender de las coordenadas espacio-tiempo, $\lambda = \lambda(\vec x,t)$. Si se puede, se puede y la teoría tiene un medidor de simetría; si no pueden, no pueden y la teoría que tiene más de un global de simetría. No puede haber ninguna ambigüedad aquí; que no se puede "estimar la simetría cambiando nada en absoluto".

Respecto a la primera diferencia, el calibre de las simetrías deben ser tratados como despidos: las configuraciones físicas (clásico) o estados cuánticos (mecánica cuántica), debe ser considerado físicamente idénticos si solo se diferencian por un indicador de la transformación. Para Mentir medidor de simetrías, esto es equivalente a decir que los estados físicos deben ser aniquilados por los generadores de las simetrías gauge. De cualquier local de simetría, como se describe en el párrafo anterior, uno normalmente genera no físico de los estados (de negativo de la norma, etc.) y tienen que ser disociada – por ser clasificados como no físico.

En el Yang-Mills caso, un mundial de simetría puede medirse en la final, pero el espectro debe ser anomalía libre porque medidor de anomalías físicas inconsistencias exactamente porque medidor de simetrías son sólo los despidos y uno no está permitido "romper" ellos de forma espontánea porque realmente reducir la física espectro hacia abajo para un coherente. En este sentido, se diferencian de los mundiales de simetrías que puede ser roto. Por supuesto, incluso un anómalo global de simetría puede medirse mediante la adición de el medidor de campos y otros campos que son capaces de cancelar el indicador de anomalía.

Por último, el cambio invariancia de la masa de Dirac $\psi$ en su ejemplo, físicamente corresponde a la posibilidad de añadir un cero, impulso, energía cero fermión en el sistema. Es sólo una manera de encontrar una "nueva solución" de esta teoría, que es posible debido a que $\psi$ sólo está acoplado a través de términos derivados. La simetría no sería una simetría si hubo una misa plazo.

Usted puede fácilmente medir este simetría mediante la sustitución de $\psi$ $\psi+\theta$ en todas partes en la acción y la promoción de la $\theta$ a un nuevo campo en el que juega un papel similar como el nuevo medidor de campo $A_\mu$ si eres de medición de Yang-Mills-como el global de la simetría. Al hacerlo, usted tendrá dos veces la cantidad de off-shell fermionic grados de libertad, pero la acción no depende de uno de ellos, $\psi+\theta$ (el signo opuesto). Así que en este campo se creará fantasmal partículas que no interactúan con cualquier otra cosa – de hecho, ni siquiera tienen cinética términos. Claramente, estos dinámicamente indeterminado quanta no debe ser contado en una teoría física (aunque, en cierto sentido, que "sólo" aumento de la degeneración de cada estado de la física de los campos por una infinita factor adicional) por lo que la forma correcta de tratar con ellos, como siempre, en el calibre de las teorías, es requerir que los estados físicos no pueden contener cualquier quanta.

Este requisito de manera efectiva devuelve a la teoría original, sólo con $\psi$ rebautizado como $\psi+\theta$. Usted no recibirá una nueva teoría interesante en este camino y no hay ninguna razón por la medición de una simetría siempre debe producir una interesante nueva teoría. El caso de Yang-Mills teorías o, en general covariante de las teorías es diferente porque son interesantes: con un Lorentz-covariante contenido del campo, uno puede crear teorías sin fantasmas (negativo-norma de los estados) a pesar del hecho de que ellos predicen la existencia de spin-uno o spin-dos partículas (desde el medidor de campo – que es el tensor métrico en el spin-dos casos). Pero esto sólo es posible debido a que estas teorías son especiales y la acción de la simetría de las transformaciones es menos trivial de lo que, en su caso. "Shift" simetrías sólo puede medirse de una manera que cambia o borra todo los campos, de forma que no puede conducir a nuevas e interesantes posibilidades.

Answer 4

Suponiendo que las siguientes manipulaciones son correctas la simetría traslacional de su Lagrange se puede medir mediante la inclusión de un escalar medidor de campo $\phi$ y un formulario de medidor de campo $A_{\mu}$.

Primero de todo, suponiendo que el límite de términos no contribuyen podemos escribir el Lagrangiano de la densidad de $$ \mathscr L=\psi^\daga i\partial_t\psi-\frac{1}{2m}(\partial^{\mu}\psi)^{\daga}\partial_{\mu}\psi. $$

Ahora la escritura $\psi$ $\left[\begin{array}{cc}\psi(x)\\1\end{array}\right]$ la traducción de $\psi$ puede ser escrito como $\left[ \begin{array}{cc} 1 & \theta_1+i\theta_2\\ 0 & 1\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\psi(x)\\1\end{array}\right]$

Mentira álgebra de el grupo de las matrices de la forma $\left[ \begin{array}{cc} 1 & \theta_1+i\theta_2\\ 0 & 1\\ \end{array}\right]$ is the set of matrices $\left[ \begin{array}{cc} 0 & a+ib\\ 0 & 0\\ \end{array}\right]$

Ahora para medir esta simetría introducir una Mentira álgebra valores de un formulario de $A=A_{\mu}dx^{\mu}$ que en virtud de un medidor de transformación

$\left[\begin{array}{cc}\psi(x)\\1\end{array}\right]\rightarrow \left[ \begin{array}{cc} 1 & \theta_1(x)+i\theta_2(x)\\ 0 & 1\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\psi(x)\\1\end{array}\right]$

transformación de la

$A_{\mu}\rightarrow g(x)A_{\mu}g(x)^{-1}+(\partial_{\mu}g(x))g(x)^{-1} $

Donde $g(x)=\left[ \begin{array}{cc} 1 & \theta_1(x)+i\theta_2(x)\\ 0 & 1\\ \end{array}\right]$

Sin embargo, tomamos nota de que el Lagrangiano $$ \mathscr L=\psi^\daga i(\partial_t-A_t)\psi-\frac{1}{2m}((\partial^{\mu}-A^{\mu})\psi)^{\dagger}(\partial_{\mu}-A_{\mu})\psi. $$

no es invariante gauge y ni real.

Obstrucción a la invariancia gauge es el hecho de que $\psi^{\dagger}$ no transforma por derecho multiplicación por $g(x)^{-1}$ sino por el derecho de la multiplicación por $g(x)^{\dagger}$

Para reparar la invariancia gauge uno puede introducir una matriz con valores escalares medidor de campo $\phi$ cuya exponencial en cambiar de evaluar los cambios como

$exp(\phi(x))\rightarrow (g(x)^{\dagger})^{-1}exp(\phi(x))g(x)^{-1}$

(¿cómo se $\phi$ cambio? No estoy seguro)

Entonces vemos que el Lagrangiano

$$ \mathscr L=\psi^\daga iexp(\phi(x))(\partial_t-A_t)\psi-\frac{1}{2m}((\partial^{\mu}-A^{\mu})\psi)^{\dagger}exp(\phi(x))(\partial_{\mu}-A_{\mu})\psi. $$

es invariante gauge. Sin embargo, todavía el Lagrangiano no es real. Para reparar los que podemos incluir el complejo conjugado de cada término.