¿Por qué ' t todas las funciones consideran una función de potencia de 1 e integran utilizando algún tipo de regla de la cadena?

Question

Cuando la integración de, digamos, $f(x) = x^{3} - 2x$, ¿por qué tenemos que ir directamente a la integración de cada término de forma independiente? ¿Por qué no es considerado como una función implícita de la potencia de uno e integrado como así?

No estoy seguro de si eso es válido hazaña ya que soy un principiante, pero yo estaba pensando: $\int \left [ f(x) \right ] ^{^{1}} dx$ $\frac{f(x)^{2}}{2}$ como otro ejemplo a la habitual: $\int f(x)^{n} dx = \frac{f(x)^{n+1}}{n+1}$ donde $n \neq -1 $.

En cuanto a lo que está dentro, el $f(x)$, como ya he dicho soy un principiante, pero sé de u-sustitución y tal vez podríamos usar y trabajar a partir de ahí?

Es eso posible o simplemente equivocada?

Answer 1

El poder de la regla para la integración dice que $$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $$ ¿Por qué no le funciona para $\int [f(x)]^n dx$? Debido a $f(x)$ no coincide $dx$. El uso adecuado de la energía de la regla sería $$ \int f(x)^n df(x) = \frac{f(x)^{n+1}}{n+1} $$ Pero todavía podemos obtener algo útil con esta utilizando, como usted ha dicho, algún tipo de regla de la cadena. Es decir, la regla de la cadena, que nos dice $df(x) = f'(x) dx$, lo que hace que la anterior en $$ \int f(x)^n f'(x)dx = \frac{f(x)^{n+1}}{n+1} $$ Como te habrás dado cuenta, esto es sólo un $u$de sustitución de con $u = f(x)$. De hecho, $u$-sustitución es, en general, equivalente a la regla de la cadena, y por lo tanto es el tipo de regla de la cadena se describen en la pregunta.

Answer 2

Olvida la regla de la cadena. De hecho,

$$\frac d{dx}\frac{y^2}2=y\frac{dy}{dx}\ne y$$

Que es la razón por la cual la integración es mucho más difícil que la diferenciación.

Sin embargo, es cierto que

$$\int[f(x)]^nf'(x)\ dx=\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}+c$$

Que se debe seguir u sustitución o diferenciando ambos lados.

Answer 3

Es un error. El derivado de $[f(x)]^2/2$ requiere que utilice la regla de la cadena, así $$\frac{d}{dx}\frac{[f(x)]^2}{2}=\frac{2[f(x)]^1}{2}f'(x)=f(x)f'(x).$ $

Answer 4

Como indican las otras respuestas, no es suficiente para escribir una función en el % de forma $[g(x)]^n$para integrar utilizando la "regla de la energía", incluso para $n=1$. Se debe expresar la función en el % de forma $[g(x)]^n g'(x)$.

Por suerte, su función de ejemplo se puede escribir de esa forma, $n=1$! Si $f(x) = x^3-2x$, inteligentemente podemos elegir $g(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}(x^2-2)$, que $g'(x)=\sqrt{2}\;x$ y $f(x)=[g(x)]^1 g'(x) = x^3 - 2x$. Se sigue que

$$ \int f(x)\,dx = \int [g(x)]^1 g'(x)\,dx = \frac{1}{2}\left[ g(x)\right]^2 + C = \frac{1}{4}(x^2-2)^2 + C = \frac{1}{4}x^4 - x^2 + 1 + C. $$