Mostrar que $\frac {a_1^2}{a_2}+\frac {a_2^2}{a_3}+...+\frac {a_n^2}{a_1}\geq a_1+a_2+...+a_n$ uso de AM-GM.

Question

$a_1,a_2,...,a_n$ Ser reales positivos. Mostrar que $\displaystyle\frac {a_1^2}{a_2}+\frac {a_2^2}{a_3}+...+\frac {a_n^2}{a_1}\geq a_1+a_2+...+a_n$ uso de AM-GM.

Sé cómo slve usando la desigualdad del cambio, pero no puedo. ¿Cómo debo aplicar AM-GM? Gracias.

Answer 1

$$\dfrac{a^2_{1}}{a_{2}}+a_{2}\ge 2a_{1}$$ $$\dfrac{a^2_{2}}{a_{3}}+a_{3}\ge 2a_{2}$$ $$\cdots\cdots$$ $$\dfrac{a^2_{n}}{a_{1}}+a_{1}\ge 2a_{n}$$

Añadir todas las desigualdades y listo!

Answer 2

otros métodos agradable $$\Longleftrightarrow \left(\dfrac{a^2_{1}}{a_{2}}-2a_{1}+a_{2}\right)+\left(\dfrac{a^2_{2}}{a_{3}}-2a_{2}+a_{3}\right)+\cdots+\left(\dfrac{a^2_{n}}{a_{1}}-2a_{n}+a_{1}\right)\ge 0$ $ $$\Longleftrightarrow \left(\dfrac{a_{1}}{\sqrt{a_{2}}}-\sqrt{a_{2}}\right)^2+\cdots+\left(\dfrac{a_{n}}{\sqrt{a_{1}}}-\sqrt{a_{1}}\right)^2\ge 0$ $