Relación entre suma derecha de Riemann y la integral definida

Question

Dejar una partición $\{t_0,\ldots,t_n\}$ del intervalo de $[a,b]$ y deje $f$ una función integrable. (también podemos suponer que $f$ es diferenciable en a $[a,b]$)

Sabemos que el Derecho a la suma de Riemann es

$$R(f)=\sum_{i=1}^n f(t_{i})(t_i-t_{i-1})$$

¿Cuál es la relación ( en orden de sentido de los términos) entre $R(f)$ y la integral de la $\displaystyle \int_a^b f(x)dx$?

Puedo decir que existe una constante positiva $C>0$ tal que $\displaystyle \int_a^b f(x)dx\leq C\cdot R(f)$? Sé que si $f$ es el aumento de la función, esto es correcto, pero en el caso general, puedo decir que?

EDIT: Suponga que el $f(t)\geq 0$ $[a,b]$

Answer 1

Como Michael E2 señala, la respuesta es definitivamente "No" en general. Permítanme sugerir el contraejemplo: (a arreglar algunos entero positivo $N$) $$\int_0^1 \sin^2(N!\,\pi x)\,dx$$ The integrand is a non-negative function which hits zero when $x$ is any integer multiple of $\frac{1}{N!}$. Because of this any right hand approximation with up to $N$ rectangles will be identically zero (the partition points for the $n$-th approximation would be $x_i=0+i\Delta x = \frac{i}{n} = \frac{i \cdot 1 \cdot 2 \cdots (n-1)(n+1)\cdots N}{N!}$ which is an integer multiple of $1/N!$). Puesto que la integral en sí misma es positiva, no podemos hacer su desigualdad en el trabajo.

Sin embargo, cuando la mano derecha sumas son positivos, una constante siempre existe. Pero esto no es nada especial sobre el derecho de la mano de aproximaciones. Es un hecho acerca de cualquier secuencia positiva.

Deje $\{ a_i \}_{i=1}^\infty$ ser una secuencia de números reales positivos que converge a $A$. Si $A=0$, $A=0 \leq Ca_i$ es trivialmente cierto para cualquier constante $C \geq 0$. Así que vamos a considerar el caso cuando se $A \not= 0$. En tal caso, no es difícil mostrar que $A>0$.

Deje $\epsilon = A/2 > 0$. Existe alguna $N>0$ tal que $|a_n-A|<\epsilon=A/2$ todos los $n \geq N$. Por lo tanto $A/2 = A-A/2 = A -\epsilon < a_n$ todos los $n \geq N$. De modo que $A < 2a_n$ todos los $n \geq N$.

Deje $M = \mathrm{min} \{a_1,\dots,a_N \}$ (nota: $M>0$ desde que asumió nuestra secuencia positiva). A continuación,$A = \frac{A}{M}\cdot M \leq \frac{A}{M} a_i$$i=1,\dots,N$.

Por último, vamos a $C = \mathrm{max} \{ \frac{A}{M}, 2\}$ y tenemos $a_i \leq C \cdot A$ todos los $i$.

Se puede ver que el argumento se rompe cuando un término de la secuencia es permitido ser 0 (en este caso $M=0$ $A/M$ es indefinido).

Ahora volviendo a tu pregunta. Dejando $a_i$ $i$- ésimo de la mano derecha, la aproximación de las $A = \int_a^b f(x)\,dx$, $A \leq Ca_i$ todos los $i$ tal que $a_i$ es no cero.

Answer 2

La pregunta básica

Creo que esta pregunta se reduce a algo más simple de lo que ha sido sugerido: si $f$ es limitado y integrables, y la suma de Riemann es distinto de cero, siempre habrá un $c$. Esto es debido a que tanto la suma de Riemann y la integral son constantes constantes. Para cualquiera de los dos a cero constantes de esto es cierto (piensa: si $c>\frac{b}{a}$, existen infinidad de constantes $C$ tal que $b<C\cdot a$).

Más generalmente

El mucho más interesante pregunta es cuando usted consigue la igualdad. La igualdad absolutamente sostiene con una función monótonamente creciente, como usted sugiere. Pero en realidad estas no son las únicas funciones para las que esto es cierto. Esto es cierto, en la precisa forma en que usted formulado, para cualquier función y la partición (en este ejemplo ES dependiente de la partición) tal que para cada $i\leq n$, $\max_{x\in\left[t_i,t_{i-1}\right]}{f(x)=f(t_i)}$. Creo que es bastante sencillo de aquí, pero para la minuciosidad' bien, voy a mostrar esto de otra manera. Deje $g(x)=\min\left \{t_i:t_i>x\right\}$. A continuación, $g\geq f$ todos los $x$, lo $\int_a^b{gdx}\geq\int_a^b{fdx}$. Sin embargo, $\int_a^b{gdx}$ es precisamente igual a la suma de Riemann $\sum_{i=1}^n{f(t_i)(t_i-t_{i-1})}$.

De manera más general

Si hemos de modificar ligeramente la suma de Riemann, esto siempre será verdad. En lugar de tomar $f(t_i)$, ya que la altura del rectángulo, podemos tomar el máximo de $f(x)$ en el intervalo de $\left[t_{i-1},t_i\right]$, y la desigualdad es casi siempre cierto. Todavía nos tiene que preocuparse acerca de el caso de que $f$ es limitado y integrables, y es todavía un problema si la suma es $0$, ya que el $f$ puede ser negativo. Si $f(x)>0$ todos los $x$ o tomamos $|f|$ que no tiene que preocuparse acerca de la suma más. Hablando de los cambios de la altura del rectángulo, aquí se encuentra un fresco de la aplicación del valor medio teorema. Si $f$ es continua en a $\left[a,b\right]$, dada una partición de $P=\left\{t_0,t_1,\cdots,t_n\right\}$ existe una secuencia $\left\{a_i\right\}_{i=1}^n$ donde $\left\{t_0<a_1<t_1<a_2<t_3,\cdots,t_{n-1},a_n,t_n\right\}$ tales que la suma de Riemann $\sum_{i=1}^n{f(a_i)(t_i-t_{i-1})}$ es precisamente igual a $\int_a^b{f(x)dx}$.

Diferencia Obligado (no del todo)

Por desgracia, el obligado se vincula en los comentarios es cierto sólo si $f$ es monótona. Incluso entonces, el propósito de la envolvente no es para acotar la integral por la suma de Riemann. El propósito de que el obligado es solo para acotar la diferencia entre la suma de Riemann y la integral; es hablar de la veracidad de las sumas de Riemann como una aproximación de la integral. De hecho, podemos ver que a medida que cambiar la partición, de modo $n\rightarrow\infty$, $\frac{M_1(b-a)^2}{2n}\rightarrow 0$, y la suma de Riemann es igual a la integral (de ahí la definición de la integral de Riemann).

Hace un definitivo obligado a hacer sentido?

De verdad que no. Decir que estamos tomando el diestro suma de Riemann de una función de $f$, pero la función $f$ tiene discontinuidades de salto en cada una de las $t_i$ (pero se supone que es aún limitada, y por lo tanto integrable). A continuación, podemos mostrar la suma de Riemann puede hacerse arbitrariamente cerca de $0$. Considere la posibilidad de una partición $P=\left\{t_i\right\}=\left\{a, a+\frac{b}{n}, a+\frac{2b}{n}, \cdots, b\right\}$. Deje $f(t_i)=\frac{\varepsilon}{b-a}$ todos los $t_i$ algunos $\varepsilon>0$. Entonces la suma de Riemann es \begin{equation} R(f)=\sum_{i=1}^n{f(t_i)(t_i-t_{i-1})}=\sum_{i=1}^n{\frac{\varepsilon}{b-a}\frac{b-a}{n}}=\sum_{i=1}^n\frac{\varepsilon}{n}=\varepsilon \end{equation} pero desde $\varepsilon$ puede ser arbitrariamente pequeño, puede que la suma de Riemann. Incluso en el caso continuo, si una función sumerge en cada una de las $t_i$ el mismo fenómeno puede ocurrir. Esta es la razón exacta por la cual utilizamos límite de procesos para las integrales y exactamente la misma razón por la integración de Riemann puede ser difícil de manejar, a veces (considere el $\frac{1}{x}\sin\left(\frac{1}{x^3}\right)$ -- ni siquiera es Riemann integrable). Sumas de Riemann sí mismos son muy inexactos, al menos cuando el tamaño de la partición es pequeño. Por estas razones, yo realmente no creo que lo lógico es tener un límite de una función por una suma de Riemann.

Espero haber ayudado a responder a su pregunta, y dado un poco de idea de cómo esta maquinaria de obras.

Answer 3

De Wikipedia me sale la siguiente fórmula

$$\left|\int_a^b f(t)dt-R(f)\right|\leq \dfrac{M_1(a-b)^2}{2n}$$

A continuación,

$$\int_a^b f(t)dt\leq \dfrac{M_1(a-b)^2}{2n}+R(f)\leq \max\left\{\dfrac{M_1(a-b)^2}{2n},1\right\}(1+R(f))$$

Me gustaría una constante multiplicando $R(f)$.

¿Esto es mejorable?