Si $f(x)$ es un polinomio irreducible de grado $n$, entonces la cardinalidad de su grupo de Galois es divisible por $n$.
Sé que necesito para usar el teorema de la torre, pero no puedo averiguar cómo llegar desde allí a la solución.
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QuentinUK
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Aquí está otra solución (el uno por el thyde641 está bien, por supuesto):
Es fácil demostrar que el grupo de Galois de $f$ actúa transitoriamente en las raíces de $f$ (aquí, irreductibilidad es crucial). Por otra parte suponemos $f$ ser separables, por lo que tiene $n$ raíces distintas en su campo división. Un grupo finito que actúa transitoriamente en un conjunto de elementos de $n$ tiene orden divisible por $n$, por el teorema de estabilizador de la órbita.
Que $\alpha$ sea una raíz de $f(x)\in K[x]$ en una clausura algebraica $\overline{K}$. Sea $L$ el campo División de $f(x)$. $K \subseteq K(\alpha) \subseteq L$, Desde $L$ contiene todas las raíces de $f(x)$. Es el tamaño del grupo de Galois de $f(x)$ $[L:K]$ (suponiendo que $f(x)$ separable, que es típico). Ahora aplicamos el teorema de la torre:
$$K \subseteq K(\alpha) \subseteq L \Longrightarrow [L:K] = [L:K(\alpha)][K(\alpha):K].$$
Puesto que es irreducible de grado $f(x)$ $n$, se deduce que $[K(\alpha):K]=n$. Todo esto hilando, tenemos $$\#\operatorname{Gal}(L/K) = [L:K] = [L:K(\alpha)][K(\alpha):K] = [L:K(\alpha)]n,$ $ que es la conclusión deseada.
