Conformación De La Gravedad

Question

Lubos, en su comentario a una pregunta, dice que (http://physics.stackexchange.com/q/61281)

Primero de todo, uno no puede evaluar la simetría sin modificar (enriquecer) el contenido del campo. Medición de una simetría significa para agregar un medidor de campo y las interacciones apropiadas (por ejemplo, por covariantize todos los términos con derivados, tanto en el caso de Yang-Mills y diffeomorphism simetrías).

Recientemente, he visto artículos sobre "Conformación de la Gravedad", es decir, ( http://arxiv.org/pdf/1306.5220.pdf ), y dicen que la siguiente acción es invariante bajo local de conformación de las transformaciones

$S = \int d^4 x \sqrt{-g} \Big( \frac{1}{12} \phi^2 R + \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi -\frac{1}{4} \lambda \phi^4 \Big) $

donde la conformación de las transformaciones dadas por

$\widetilde{g}_{\mu\nu} = e^{-2\sigma(x)} g_{\mu\nu} \,, \qquad \tilde{\phi} = e^{\sigma(x)} \phi $

Ahora, si esta acción es localmente conformación invariante por lo que la conformación de simetría se mide, no debe uno de enriquecer el contenido del campo mediante la adición de medidor de campos y las interacciones apropiadas, y covariantize todos los términos con derivados?

Answer 1

La conformación de la transformación $g'_{\mu\nu} = e^{-2\sigma}g_{\mu\nu}$, $sigma = sigma(x)$ conduce a la transformación de el escalar de Ricci $$ R' = e^{2\sigma}R - 12e^{2\sigma}(2\sigma_{,\mu}^{,\nu} - 2\sigma_{,\mu}\sigma^{,\mu} $$ Desde $\phi' = e^{\sigma}$ $$ \frac{1}{12}\phi'^2R' = \frac{1}{12}\phi^2 R - \phi^2(2\square\sigma - 2\sigma_{,\mu}\sigma^{,\mu}) $$ El tensor de Ricci y escalares no son de conformación invariante. El escalar campo de Lagrange $\frac{1}{2}\phi_{,\mu}\phi^{,\mu} - \frac{1}{4}\lambda\phi^4$ transforma con el $\phi \rightarrow e^\sigma\phi$ y con un poco de trabajo es fácil ver que $\phi^2(2\square\sigma – 2\sigma_{,\mu}\sigma^{,\mu})$ en el escalar de Ricci transformación es restado y el total Lagrangiano es invariante. Esta es la razón por la que hay que $1/6$ factor que sigue mostrando en la conformación invariante Lagrangians.

Esto se produce sin el requisito de un medidor covariante del operador. La conformación de la transformación es una especie de modificación de la escala de la métrica. Tiene una relación con la conformación de las transformaciones en el complejo de variables que conservan las medidas de los ángulos. Hay Cauchy Riemann ecuaciones que pueden ser calculados para una función $z = x + iy$ $\rightarrow u = v + iw$. Si usted toma un derivado $du/dz$ separar lo real de la imaginaria de obtener estas ecuaciones. Si vas a hacer una cosa similar con cuaterniones usted puede obtener las ecuaciones que definen el campo de tensores de la teoría de gauge. Como resultado de la conformación de las transformaciones y el indicador de las transformaciones son diferentes en su estructura.

Como resultado, no hay ningún requisito para "covariantize" los operadores en el Lagrangiano de hacer es invariante con respecto a la conformación de las transformaciones. Hay, por supuesto, el tema de la conformación teoría de gauge, que hace, en cierto sentido, la mezcla de los dos.