¿Qué nos permite dividir/multiplicar dx en cálculo?

Question

He leído casi todos los hilos sobre este tema, pero ninguno parece responder a mi pregunta o dirigirme en la mejor dirección.

Cuando realizo la sustitución U o incluso en su forma más básica:

$y = 2x$, $dy=2\,dx$.

¿Qué nos permite hacer esto y qué/dónde aparece en un libro de cálculo? Ninguno de mis profesores ha podido explicármelo. Me resulta difícil seguir adelante cuando ni siquiera los conceptos básicos parecen intuitivos.

He leído que la idea de las diferenciales varía, pero ¿hay una comprensión única sobre ellas a la que me pueda adherir? Siento que me estoy perdiendo algo simplemente haciéndolo en mis cálculos y sin entender por qué. Realmente he leído todos los mensajes sobre esto, ha sido algo que me ha estado rondando en la cabeza durante mucho tiempo, así que por favor no cierren esto.

Saludos

Answer 1

La regla de la cadena dice que $\dfrac d {dx} f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x)$. Por lo tanto

$$ \underbrace{\int f'(g(x)) g'(x)\,dx = \int \left( \frac d {dx} f(g(x)) \right)\,dx}_\text{regla de la cadena} = f(g(x)) + C. $$

Si uno abrevia $g(x)$ como $u$ y $g'(x)\,dx$ como $du$, se escribe esto como $$ \int f'(u)\,du = f(u) + C. $$

Ese uso es consistente con escribir $\dfrac {du} {dx} = g'(x)$, como aprendiste a hacer anteriormente.

Si tu instructor no pudo explicarte que esto se trata de la regla de la cadena (así como la integración por partes se trata de la regla del producto) entonces o tu instructor no conoce bien el material o no entendió lo que estabas preguntando.

Answer 2

Existe una manera de hacer esto riguroso, pero realmente no ayuda a un estudiante de cálculo a entender lo que está sucediendo. En cambio, este uso de diferenciales debería considerarse como una abreviatura notacional. Es una abreviatura para el siguiente cálculo.

Sabemos que

$$\int_a^b f'(x) \, dx = f(b)-f(a).$$

Este es un lado del teorema fundamental del cálculo. Si reemplazamos $f(x)$ con $f(g(x))$, entonces la regla de la cadena para derivadas nos dice que debemos reemplazar $f'(x)$ con $f'(g(x)) g'(x)$. Por lo tanto, esperamos que

$$\int_a^b f'(g(x)) g'(x) \, dx = f(g(b)) - f(g(a)).$$

Ahora, observe que el lado derecho tiene $f$ evaluado en $g(b)$ y $g(a)$. Eso significa que, aplicando el TFC en reversa, obtenemos

$$\int_a^b f'(g(x)) g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f'(u) \, du.$$

Esta es la fórmula de cambio de variables, que podrías llamar "la regla de la cadena inversa". En la abreviatura, reemplazamos $g(x)$ con $u$ y $g'(x) \, dx$ con $du$. El primero es un reemplazo adecuado de variables, mientras que el segundo debe entenderse solo como notación. Puedes recordarlo fingiendo que puedes cancelar diferenciales: "$\frac{du}{dx} \, dx = du$".

Ambas ecuaciones anteriores siempre son válidas. Donde el cambio de variables no necesariamente funciona como se espera es cuando la función $g(x)$ no es uno a uno, lo que (asumiendo que $g$ es continuamente diferenciable) significa que $g'$ tiene un cero.

Puedes ver el problema mirando un ejemplo como $\int_{-1}^1 x^2 \, dx$. Considera intentar la sustitución $u=g(x)=x^2,g'(x)=2x$ en este problema (aunque obviamente no hay necesidad de hacerlo). Basado en las reglas anteriores, el procedimiento de cambio de variable dice "dividir por $g'(x)$, escribir lo que queda como algún $f(u)$ e integrar eso". Así que en este problema se reduce a significar "escribir $\frac{x}{2}$ en términos de $x^2$".

Pero si $x$ puede ser cualquier cosa en $[-1,1]$, entonces esto no se puede hacer con una sola sustitución: un valor de $x^2$ está asociado a dos valores de $x/2$. En consecuencia, te ves obligado a dividir la integral en $0$ para poder hacer $x/2=\sqrt{u}/2$ en un dominio y $x/2=-\sqrt{u}/2$ en el otro (y luego el procedimiento funciona correctamente).

Answer 3

Una respuesta sencilla es que la derivada dy/dx es el límite de Δy/Δx a medida que Δx tiende a cero. Antes de tomar el límite, Δy y Δx son simplemente números ordinarios que se pueden multiplicar o dividir.

Ahora, considera la expresión dz/dy * dy/dx. Si cada uno de los siguientes límites existen ...

lim Δz / Δy cuando y → 0 = dz/dy
lim Δy / Δx cuando x → 0 = dy/dx
lim Δz / Δx cuando x → 0 = dz/dx

... entonces podrías hacer la aritmética con Δz/Δy * Δy/Δx antes de tomar el límite, lo cual dejaría Δz/Δx.

Luego, cuando tomes el límite, obtendrías dz/dx.

Por supuesto, es importante entender que y representa una función particular de x, y=f(x), y que z representa una función particular de y, z=g(y). Para un valor dado de x, tendrías un valor específico para y, que a su vez resultaría en un valor específico para z. En otras palabras, estos son solo números ordinarios.

Pero las relaciones aritméticas se mantienen sin importar qué valor de x elijas, y sin importar qué funciones representen y z, siempre y cuando los límites de Δz/Δy y Δy/Δx existan. Esto significa que las funciones z(y) y y(x) deben ser diferenciables en todo el dominio de interés, y si son diferenciables, entonces trabajar con los diferenciales no es diferente de trabajar con los deltas.

Answer 4

Hay otra explicación (no mucho más rigurosa).

Supongamos que tenemos que calcular la integral

$$\int_a^bf(g(x))dx$$

sobre cuya existencia (en sentido riemanniano) estamos convencidos. Además, supongamos que el inverso de $g(x)$ existe en $[a,b]$.

Supongamos que la sustitución: $$u=g(x)$$ ayudaría a evaluar la integral. Así que hagámoslo. (Aceptemos sin explicación que los nuevos límites serán $g(a)$ y $g(b)$.)

La verdadera pregunta es la transformación de $dx$.

La integral anterior existe por hipótesis, así que podemos aproximarla con la siguiente suma de Riemann:

$$\int_a^bf(g(x))dx\approx \sum_{i=1}^{n+1}f(g(\tilde{x_i}))(x_{i+1}-x_i).$$

Dividamos y multipliquemos cada término en la suma por

$$g(x_{i+1})-g(x_i)$$

el resultado es

$$\sum_{i=1}^{n+1}f(g(\tilde{x_i}))\frac{x_{i+1}-x_i}{g(x_{i+1})-g(x_i)}(g(x_{i+1})-g(x_i)).$$

La expresión

$$\frac{x_{i+1}-x_i}{g(x_{i+1})-g(x_i)}$$

me recuerda al recíproco de la derivada de $g$ en $\tilde x_i$ siendo el punto representativo entre $x_{i+1}$ y $x_i$. Cuanto más corto sea el intervalo, mejor será la aproximación. Así que usemos esta intuición y cambiemos la suma de Riemann por la siguiente suma que parece seguir siendo una aproximación válida de nuestra integral de Riemann

$$\int_a^bf(g(x))dx\approx\sum_{i=1}^{n+1}f(g(\tilde{x_i}))\frac1{g'(\tilde x_i)}(g(x_{i+1})-g(x_i)).$$

Ahora, ¿qué es $\frac1{g'(\tilde x_i)}$? Es la derivada del inverso de $g$ en $g(\tilde {x_i}):

$$\frac1{g'(\tilde x_i)}=[g^{-1}]'(g(\tilde {x_i})).$$

Con esta invención nuestra aproximación de Riemann se convierte en

$$\int_a^bf(g(x))dx\approx\sum_{i=1}^{n+1}f(g(\tilde{x_i}))[g^{-1}]'(g(\tilde {x_i}))(g(x_{i+1})-g(x_i)).$$

Introduzcamos ahora las siguientes notaciones: $u_{i+1}=g(x_{i+1})$, $u_i=g(x_i)$, y $\tilde{u_i}=g(\tilde{x_i}).

Con esto tenemos

$$\int_a^bf(g(x))dx\approx\sum_{i=1}^{n+1}f(\tilde{u_i})[g^{-1}]'(\tilde{u_i})(u_{i+1}-u_i).$$

Reconocemos que la suma de Riemann anterior es la aproximación de la siguiente integral

$$\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)[g^{-1}](u)du.$$

Es decir, tenemos la siguiente aproximación

$$\int_a^bf(g(x))dx\approx\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)[g^{-1}]'(u)du.$$

Solo es un problema técnico demostrar que esta no es una aproximación (dadas las condiciones formuladas al principio) sino una ecuación real.

Comparemos este resultado con la regla de integración por sustitución. Nuevamente, tenemos $$\int_a^bf(g(x))dx$$

y queremos introducir la sustitución $u=g(x)$. Según la regla tomamos el inverso de $g$ para que tengamos $x=g^{-1}(u)$. Luego, como dice la regla tomamos

$$\frac{d x}{du}=\frac{d [g^{-1}](u)}{du}=[g^{-1}]'(u)$$

de donde, como si fuera legal, declaramos que

$$dx=[g^{-1}]'(u)du$$

y obtenemos formalmente el resultado que obtuvimos antes.

Answer 5

Cuando aprendí cálculo, decidí que $\mathrm{d}y$ significa "la derivada de $y$ con respecto a alguna variable que aún no he decidido".

Es un poco ad hoc, pero en realidad resulta ser bastante similar en espíritu a métodos rigurosos para dar sentido a la notación.

En los contextos rigurosos, $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ se puede ver como una abreviatura de "la cosa que, cuando se multiplica por $\mathrm{d}x$, da $\mathrm{d}y$", cuando tenga sentido.

Probablemente tu libro de texto no introduzca realmente el tema correctamente. En mi opinión, el cálculo introductorio ha convergido hacia un marco minimalista y orientado a la función donde notaciones como $\mathrm{d}y$ — o incluso $y = 2x$ — no encajan realmente bien, pero aún así se deben enseñar porque no hacerlo dejaría a los estudiantes mal equipados e desprevenidos para la práctica real del cálculo.