Intrigante Integral indefinida: $\int ( \frac{x^2-3x+1/3 }{x^3-x+1})^2 \mathrm{d}x$

Question

Evaluar

$$\int \left( \frac{x^2-3x+\frac{1}{3}}{x^3-x+1}\right)^2 \mathrm{d}x$$

He intentado usando fracciones parciales pero el denominador no factor hacia fuera muy bien. Yo también sustituido $x=\dfrac{1}{t}$ llegar

$$\frac{-1}{9} \int \left(\frac{t^2-9t+3}{t^3-t^2+1}\right)^2 \, \mathrm{d}t $$

Pero no sé cómo resolver esto bien.

Por favor ayuda.
Gracias de antemano.

Answer 1

El objetivo es representar a $$\dfrac{dt}{dx} = \dfrac19 \cdot \dfrac{(3x^2-9x+1)^2}{(x^3-x+1)^2} = \dfrac{d(u/v)}{dx} = \dfrac{vdu/dx - u dv/dx}{v^2}$ $ por lo tanto, es tentador elegir $v=(x^3-x+1)$. Esto significa que necesitamos $u$ que por lo tanto, $ de $$(x^3-x+1)u'(x) - (3x^2-1)u = (x^2-3x+1/3)^2$ $u(x)$ debe ser una cuadrática como $u(x) = ax^2+bx+c$. Esto nos da un coeficiente de comparación de $ $$(x^3-x+1)(2ax+b) - (3x^2-1)(ax^2+bx+c) = (x^2-3x+1/3)^2$ $x^4$, obtenemos el coeficiente de comparación de $ $$2a - 3a = 1 \implies a = -1$ $x^2$, obtenemos %#% $ de #% comparando el término constante, obtenemos %#% $ de #% por lo tanto, tenemos $$-2a + a -3c = 9 + 2/3 \implies 3c = -a-29/3= 1-29/3 = -26/3 \implies c = -26/9$ $

Answer 2

Parcial de las fracciones también funciona, esto puede ser un poco más de trabajo que tratando de encontrar una inteligente solución ad hoc, pero la ventaja es que es un método directo.

Si $\alpha$ es una raíz del denominador, y luego poner las $x = \alpha + t$ y la realización de un llamado Laurent de expansión alrededor de $t=0$ (que es análogo a una expansión de Taylor, excepto que el poder negativo términos pueden aparecer en la expansión), se obtiene:

$$\frac{x^2-3x+\frac{1}{3}}{x^3 - x + 1} = \frac{\alpha^2 - 3\alpha + \frac{1}{3}}{3\alpha^2 -1}\frac{1}{t} +\left[\frac{2\alpha-3}{3\alpha^2-1} -\frac{3\alpha\left(\alpha^2-3\alpha+\frac{1}{3}\right)}{\left(3\alpha^2-1\right)^2}\right]+\mathcal{O}(t)$$

El cuadrado ambos lados de los rendimientos:

$$\left(\frac{x^2-3x+\frac{1}{3}}{x^3 - x + 1}\right)^2 = \left( \frac{\alpha^2 - 3\alpha + \frac{1}{3}}{3\alpha^2 -1}\right)^2\frac{1}{t^2}+\mathcal{O}(1)$$

El $\frac{1}{t}$ plazo se cancela debido a $\alpha$ satisfacer la ecuación de $\alpha^3 - \alpha +1 = 0$.

Así tenemos que la fracción parcial de expansión:

$$\left(\frac{x^2-3x+\frac{1}{3}}{x^3 - x + 1}\right)^2 = \sum_{\alpha}\left( \frac{\alpha^2 - 3\alpha + \frac{1}{3}}{3\alpha^2 -1}\right)^2\frac{1}{(x-\alpha)^2}$$

(Prueba: la diferencia entre la l.h.s. y la r.h.s. es una función racional, pero que por construcción no tiene singularidades, por lo que debe ser un polinomio. Pero debido a que los términos que tienden a cero para $x\to\infty$, que el polinomio debe ser idéntica a cero.)

Obviamente, esta es trivial para integrar, pero ¿cómo podemos suma de las raíces de las $\alpha$? Considere la función:

$$f(\alpha) = \frac{1}{\alpha^3 -\alpha +1}\frac{\left(\alpha^2 - 3\alpha + \frac{1}{3}\right)^2}{3\alpha^2 -1}\frac{1}{\alpha-x}$$

obtiene multiplicando el sumando de la respuesta por el logarítmica de la derivada del denominador el interior de la plaza de el integrando. A continuación, considere la posibilidad de hacer un parcial fracción de expansión mediante el Laurent método de expansión como lo hicimos anteriormente. Ya que la función tiende a cero para $\alpha \to \infty$, superior a la de $1/\alpha$, la suma de los coeficientes de los términos con exponente -1 se suma a cero. Por construcción, la suma es parte de esta suma.

La respuesta es dada por menos la suma de los coeficientes de las Laurent expansión de condiciones con el exponente -1$f(\alpha)$$\alpha = x$$\alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$. Dichos coeficientes se conoce como "residuos" en la teoría de funciones complejas.

El residuo de a $\alpha = x$ obviamente:

$$\frac{1}{x^3 -x +1}\frac{\left(x^2 - 3x + \frac{1}{3}\right)^2}{3x^2 -1}$$

El residuo de a $\alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ puede ser escrita como:

$$\frac{x+\frac{3}{2}}{1-3 x^2} \mp\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3}{2}\sqrt{3}x}{1-3 x^2}$$

La integral, que es menos que la suma de estos residuos, por lo tanto puede ser escrita como:

$$\frac{x^4+9x^3-\frac{35}{3}x^2+x+\frac{26}{9}}{\left(x^3-x+1\right)\left(3 x^2-1\right)}$$

Answer 3

Yo no completamente terminado, pero creo que es factible.

Considere la posibilidad de diferenciar $(x^3-x+1)^{-1}$, la derivada es $-3x^2(x^3-x^2+1)^{-2}$. El denominador es el derecho, por lo que el cociente de la regla va a ser natural para su uso.

Lo siguiente que tenemos que tratar de adivinar lo que la antiderivada de toda la expresión es. Considerar el cociente regla, $(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-v'u}{v^2}$. Por lo tanto, nuestra conjetura es que el numerador es $ax^2+bx+c$, ya que si utilizamos el cociente regla de la fórmula, $u'$ tiene el más alto orden de 1, $v'$ tiene el más alto orden de 2.

El uso de la fórmula para encontrar el numerador, comparar con $(x^2-3x+\frac{1}{3})^2$, obtendrá ecuaciones simultáneas w.r.t. $a,b,c$. Resolver, entonces usted puede obtener la solución final.

La respuesta puede ser simplemente recibido de Wolframalpha, comprobar si se hizo correctamente.

Answer 4

Ostrogradsky-método de Hermite. Como he escrito en más detalle aquí, podemos utilizar el Ostrogradski-Hermite método para integrar una fracción racional $P(x)/Q(x)$ sin descomposición en fracciones parciales y sin encontrar múltiples raíces del denominador. Usted también puede encontrar una descripción simple de este método aquí, inciso 4.5.2, así como algunos ejercicios (1301-1304).

Suponga que $\deg P<\deg Q$. Entonces, existen polinomios $$P_{1},\quad Q_{1}=\gcd \left\{ Q,Q^{\prime }\right\} ,\quad P_{2}\quad \text{and}\quad Q_{2}=Q/Q_{1},$$ with $\deg P_{1}<\gr Q_{1}$, $\gr P_{2}<\gr Q_{2}$, que

\begin{equation*} \int \frac{P}{Q}\, dx=\frac{P_{1}}{Q_{1}}+\int \frac{P_{2}}{ Q_{2}}\, dx.\tag{1} \end{ecuación*}

Puesto que el integrando es \begin{equation*} \frac{P}{Q}=\frac{\left( x^{2}-3x+1/3\right) ^{2}}{\left( x^{3}-x+1\right) ^{2}},\tag{2} \end{ecuación*}

y

\begin{eqnarray*} Q &=&\left( x^{3}-x+1\right) ^{2} \\ Q^{\prime } &=&2\left( x^{3}-x+1\right) \left( 3x^{2}-1\right) \\ Q_{1} &=&\gcd \left\{ Q,Q^{\prime }\right\} =x^{3}-x+1,\\ Q_{2}&=&\frac{Q}{Q_{1}}=x^{3}-x+1, \end{eqnarray*}

podemos ampliar la integral dada como

\begin{equation*} \int \frac{\left( x^{2}-3x+1/3\right) ^{2}}{\left( x^{3}-x+1\right) ^{2}}\, dx= \frac{Ax^{2}+Bx+C}{x^{3}-x+1}+\int \frac{Dx^{2}+Ex+F}{x^{3}-x+1}\, dx,\tag{3} \end{ecuación*}

donde $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ son constantes. Se pueden encontrar por la diferenciación $(3)$, la reducción de ambos lados a un denominador común e igualando los coeficientes de los poderes de $x$ de los numeradores. Por lo tanto, tienen

\begin{eqnarray*} \frac{\left( x^{2}-3x+1/3\right) ^{2}}{\left( x^{3}-x+1\right) ^{2}} &=& \frac{\left( 2Ax+B\right) \left( x^{3}-x+1\right) -\left( 3x^{2}-1\right) \left( Ax^{2}+Bx+C\right) }{\left( x^{3}-x+1\right) ^{2}}\\ &&+\frac{\left(Dx^{2}+Ex+F\right)\left(x^{3}-x+1\right)}{\left( x^{3}-x+1\right) ^{2}}. \end{eqnarray*}

Desde $\left( x^{2}-3x+1/3\right) ^{2}=x^{4}-6x^{3}+(29/3)x^{2}-2x+1/9$, después de algunos álgebra obtenemos

\begin{align} x^{4}-6x^{3}+(29/3)x^{2}-2x+1/9&= Dx^{5}+\left( -A+E\right) x^{4}+\left( -2B-D+F\right) x^{3}\\ &\qquad+\left(-A-3C+D-E\right) x^{2}+\left( 2A+E-F\right) x\\ &\qquad+\left( B+C+F\right), \end{align}

lo que significa que las constantes satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones

\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l} D =0,\\ -A+E=1,\\ -2B-D+F=-6, \\ -A-3C+D-E =\frac{29}{3},\\ 2A+E-F=-2, \\ B+C+F=\frac{1}{9}, \end{array} \right. \end{ecuación*}

cuya solución es

\begin{equation*} A=-1,\, B=3,\, C=-\frac{26}{9},\, D=0,\, E=0,\, F=0. \end{ecuación*}

Por lo tanto

\begin{equation*} \int \frac{\left( x^{2}-3x+1/3\right) ^{2}}{\left( x^{3}-x+1\right) ^{2}}\, dx= \frac{-x^{2}+3x- 26/9 }{x^{3}-x+1}+C.\tag{4} \end{ecuación*}