Cómo ver $\cos x \leq \exp(-x^2/2)$ en $x \in [0,\pi/2]$ ?

Question

¿Puede alguien ayudarme con la desigualdad anterior? He intentado mirar la expansión de la serie y supongo que la respuesta está ahí, pero no la veo.

Gracias

Answer 1

Sin ningún tratamiento especial para $x=\frac{\pi}{2}$ que se puede verificar manualmente, tenemos $\forall x \in \left [0, \frac{\pi}{2} \right )$ :

$$0<\cos(x)\leq e^{-\frac{x^2}{2}} \Leftrightarrow \ln(\cos(x)) \leq -\frac{x^2}{2}$$ sólo porque $\ln(x)$ es ascendente, estrictamente.

Como resultado, veamos esta función $f(x)=-\frac{x^2}{2}-\ln(\cos(x))$ . $$f'(x)=\tan(x)-x$$ $$f''(x) = (\tan(x))^2$$

La segunda derivada dice que la primera es ascendente, por lo que para $x\geq0$ : $$f'(x)=\tan(x)-x \geq f'(0)=0$$ Así que $f(x)$ también es ascendente, lo que significa que $x\geq0$ : $$f(x)=-\frac{x^2}{2}-\ln(\cos(x)) \geq f(0)=0$$

Answer 2

Puedes utilizar el producto de Weierstrass para la función coseno: $$\cos x = \prod_{n\geq 0}\left(1-\frac{4x^2}{(2n+1)^2\pi^2}\right) \tag{1}$$ y tomando $\log$ s: $$\begin{eqnarray*}\log\cos x&=&\sum_{n\geq 0}\log\left(1-\frac{4x^2}{(2n+1)^2\pi^2}\right)\\&=&-\sum_{n\geq 0}\sum_{m\geq 1}\frac{4^m x^{2m}}{m(2n+1)^{2m}\pi^{2m}}\\&=&-\sum_{m\geq 1}(4^m-1)\frac{\zeta(2m)}{m\pi^{2m}}\,x^{2m}\tag{2}\end{eqnarray*}$$ Así que..: $$\log\cos x\leq -3\frac{\zeta(2)}{\pi^2}x^2 = -\frac{x^2}{2}\tag{3}$$ como se busca. El mismo enfoque también demuestra $\cos(x)\leq \exp\left(-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{12}-\frac{x^6}{45}\right)$ .
Un enfoque alternativo es observar que $\tan(x)\geq x$ para cualquier $x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ se cumple por convexidad, por lo que integrando ambos lados sobre el intervalo $(0,\theta)$ obtenemos $\log\cos\theta\leq-\frac{\theta^2}{2}$ para cualquier $\theta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ .

Answer 3

Aquí hay otra opción para demostrar la desigualdad por expansiones de Taylor como el OP sugirió. Así que vamos a demostrar que

$$\exp(-x^2/2)\ge\cos x,\quad x\in[0,\pi/2].$$

Haciendo expansiones de Taylor en cero con los residuos de Lagrange, podemos obtener las estimaciones $$\begin{eqnarray} \exp(-t)&=&1-t+\frac{t^2}{2!}-\frac{t^3}{3!}+\underbrace{\frac{\exp(-\xi)}{4!}t^4}_{\ge 0}\ge 1-t+\frac{t^2}{2!}-\frac{t^3}{3!},\\ \cos x&=&1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\underbrace{\frac{\cos\xi}{6!}x^6}_{\ge 0}\le 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}. \end{eqnarray}$$ Ahora podemos escribir con $t=x^2/2$ $$\exp(-x^2/2)\ge 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}\color{red}{-\frac{x^6}{48}}\ge 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}\color{red}{-\frac{x^4}{12}}= 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}\ge\cos x,\quad x\in[0,\pi/2].$$ Aquí, en el segundo paso, hemos utilizado el límite $$\color{red}{-\frac{x^6}{48}}\ge\color{red}{-\frac{x^4}{12}}\iff x^4(2+x)(2-x)\ge 0$$ lo cual es cierto para $0\le x\le\pi/2<2$ .

Answer 4

En primer lugar, puedes utilizar el gráfico para hacerte una idea.

Como saben la expansión de Taylor de cos $$\cos x =1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} ...$$

Entonces se puede hacer una expansión de Taylor en x=0 para $$f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}=1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} ...$$

Supongo que ahora puedes ver por qué uno es más grande que el otro.