Ecuación exponencial difícil $6^x-3^x-2^x-1=0$

Question

$$6^x-3^x-2^x-1=0$$ No tengo ni idea de cómo resolver esta ecuación. No sé cómo demostrar que la función $f(x)=6^x-3^x-2^x-1$ es estrictamente creciente (si es el caso). La derivada no me muestra nada. He intentado también utilizar el teorema de Lagrange (como en esta ecuación por ejemplo: $2^x+9^x=5^x+6^x$ ), pero no es el caso. Pero necesito una solución sin cálculo. ¡Por favor, ayuda! Editar: En mi país el teorema que dice más o menos esto $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}, $ donde $f:[a,b]\to\mathbb{R} $ se llama teorema de Lagrange

Answer 1

$6^x-3^x-2^x-1=0$ equivalente $1=\frac 1 {2^x}+\frac 1 {3^x}+\frac 1 {6^x}$

El lado izquierdo es constante mientras que el derecho es decreciente. Sólo puede haber una solución como máximo, y $x=1$ es perfecto para el trabajo.

Answer 2

Me ha gustado bastante tu pregunta, así que he pensado que esto podría ser de ayuda la próxima vez que te enfrentes a una pregunta similar a esta, puedes emplear algún software matemático para ayudarte, por ejemplo, Maple. Puedes reescribir la ecuación de la siguiente manera $$ f(x) = g(x) $$ donde $f(x)= 6^x - 3^x -2^x$ y $g(x)=1$ es una función constante. Así que es un problema de intersección. La gráfica está abajo.

Claramente, se cruzan en $x=1$ o puede utilizar el siguiente código para ser $100\%$ seguro

fsolve({f(x) = g(x)}, {x}, x = -1 .. 2)

donde $f(x)$ y $g(x)$ se definen como arriba.