Aplicación de la desigualdad de Jensen a $x^x+y^y+z^z$

Question

Reclamo: Si $x, y, z >0$ $x+y+z = 3\pi, $ $x^x + y^y + z^z > 81.$

Mi intento: Vamos a $f(w) = w^w$, lo $f$ es convexa en a $(0, \infty).$ Por la desigualdad de Jensen, $f(x\frac{x}{3\pi}+ y\frac{y}{3\pi} + z\frac{z}{3\pi}) \leq \frac{x}{3\pi}f(x) + \frac{y}{3\pi}f(y) + \frac{z}{3\pi}f(z) < x^x + y^y + z^z. $

Podría alguien aconsejarme cómo continuar a partir de aquí?

Answer 1

Usted no sólo quiere usar ese $$\frac{1}{3}f(x)+\frac{1}{3}f(y)+\frac{1}{3}f(z) \geq f\left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}z\right)=f(\pi)=\pi^\pi > 3^3 =27$$

Multiplicar por 3 para obtener el deseado desigualdad.