Si aleatoria de los números reales se han seleccionado de entre el conjunto de todos los números reales, para un número infinito de iteraciones, ¿cuál es la probabilidad de repeticiones ocurriendo?
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Matthew Scouten
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No hay tal cosa como "el azar los números reales, seleccionados a partir del conjunto de todos los números reales". Suponiendo que lo que quieres decir es que usted está tomando muestras independientes $X_n$ a partir de cierta distribución de probabilidad continua, entonces sí, para cualquier fija $n \ne m$, la probabilidad de $\mathbb P(X_n = X_m)$ que $X_n = X_m$$0$, y así contables de la suma de la probabilidad de que se repita también es $0$.
CodeMonkey1313
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Es muy difícil decir exactamente cómo seleccionar a un "azar número real". Incluso seleccionando al azar un número entero positivo es complicado, cualquier individuo de número serán elegidos con probabilidad cero.
Así que no es un oficial de la matemática respuesta a su pregunta, ya que no ha especificado el método de selección:
Estoy bastante seguro de que cualquier forma razonable de hacerlo usted encontrará la probabilidad de repeticiones es igual a cero. @fleablood 's comentario explica por qué. La probabilidad de que cualquier número particular debe ser $0$ por lo que la probabilidad de que se repita en cualquier secuencia finita es $0$. Que también será válido para cualquier contables de la secuencia.
La pregunta de qué tipo de especificar countability cuando dice que "un número infinito de iteraciones", pero si que el infinito es la cardinalidad de a $\mathbb{R}$ la cuestión es mucho más sombría.
Simpson17866
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(He leído el problema muy rápidamente y a toda mi primer intento fue el camino. Siéntase libre de omitir la parte en la que he sangría con bloque-comillas)
SUGERENCIA: me gustaría ver lo que sucede cuando usted toma los números de "1" a "n", encontrar una función que muestra lo que sucede cuando usted repite "n" veces, a continuación, encontrar el límite cuando "n" tiende a infinito.
¿Sabe usted cómo configurar esto?
ORIGINAL EDITAR "No sé cómo" Muy bien, entonces, vamos a empezar con $n=5$
a) Si usted se refiere a la repetición en cualquier lugar de la secuencia, secuencias como 1-4-3-5-3 o 2-5-4-1-2 todos conteo, dejando sólo las secuencias que sólo contienen cada número una sola vez: 1-3-4-2-5, 2-4-3-5-1, 5-3-4-1-2...
De un total $5^5 = 3125$ combinaciones, esto deja de $5! = > 5*4*3*2*1 = 120$ que no se repita contienen la repetición en contra de $3125-120 = 3005$ combinaciones que hacer (3.84%, sin repetición, 96.16%). Mientras que si $n=10$, luego tenemos a $10^{10} = 10$ miles de millones de combinaciones, sólo $10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 3,628,800$ el uso de cada número sólo una vez, sin repetición (0.036288% sin la repetición, 99.963712%).
Como $n$ hace más y más grande, la probabilidad de $\frac{n!}{n^n}$ que cada número de 1 a $n$ es utilizado sólo una vez y sólo una vez se aproxima a 0, se aproxima un 100% de probabilidad como $n$ enfoques de la infinidad que hay tener al menos una repetición en algún punto de la secuencia.
b) O bien, si sólo significa la repetición de un número al siguiente (1-3-4-1-5 no cuenta como la repetición, pero 2-3-3-1-4 hace), entonces usted ha $n-1$ pares de números adyacentes y un $\frac{1}{n}$ de probabilidad de que cualquier par es un partido (sea cual sea el primer número es, hay $n$ posibilidades para lo que el próximo va a ser).
Las probabilidades de que una pareja dada no coincide son $\frac{n-1}{n}=1-\frac{1}{n}$, y la probabilidad de que ninguno de los $n-1$ pares de partido es igual a $(\frac{n-1}{n})^{n-1}= (1-\frac{1}{n})^{n-1}$. ¿ usted sabe cómo encontrar a $\lim \limits_{n \to ∞}(1-\frac{1}{n})^{n-1}$?
2ª EDICIÓN: Y me di cuenta de que se suponía que debía estar pasando por "todos los números reales" en mis dos ejemplos anteriores.
En cualquier caso, el conjunto de todos los números reales (enteros, racionales, irracionales algebraicas, irracional trascendental) es uncountably infinito, mientras que la longitud de la secuencia (el primer número, la segunda, la tercera ... la milmillonésima ... el googol-th ...) sería countably infinito.
Ambas versiones de la repetición, que me miró realmente tendría un 0% de probabilidad de ocurrencia.
