Encuentre el $n^{\rm th}$ dígito en la secuencia $123456789101112\dots$

Question

Básicamente, la pregunta nos pide que encontremos la enésima cifra en la siguiente secuencia:

$$12345678910111213\dots9899100101\dots$$

donde el décimo dígito es $1$ el 11º dígito es $0$ etc.

EDITAR: Aquí están mis trabajos: Estaba pensando en definir intervalos de alguna manera, por ejemplo, sé que hay 9 dígitos en este intervalo $0\dots9$ y $10\dots99$ y más tarde tratar de encontrar una suma. Sin embargo, estoy atascado en este punto.

Answer 1

Considere una función $g(n)$ que se define como: $$g(n)=\sum_{1\leqslant k \leqslant n} 9 \times 10^{k-1} \times k = \frac{ 9(n+1)10^n-10^{n+1}+1} {9} \qquad k,n \in \mathbb{Z^+}$$ Probablemente verá que los valores se pueden calcular con bastante facilidad, ya que existe un patrón: $$g(1)=9$$ $$g(2)=189$$ $$g(3)=2889$$ $$g(4)=38889$$ Ahora, dado que queremos encontrar el $n$ tenemos que resolver primero $p$ : $$ p=10^{\lceil a \rceil} -1 - \left\lfloor \frac{g( \lceil a \rceil) - g(a)}{\lceil a \rceil} \right\rfloor, g(a) = n \qquad a \in \mathbb{R^+}$$

Esto, $p$ nos dará el número que contiene el $n$ dígito. Por lo tanto, para encontrar el $n$ dígito, calcula:

$$r = g(\lceil a \rceil ) - g(a) \mod \lceil a \rceil $$ El $r$ le da el índice del $n$ dígito del número $p$ .

$$p = (a_r\dots a_1a_0)$$

Referencia: Los, Artem. (2014). Encontrar la enésima cifra en una secuencia de enteros positivos colocados en una fila en orden ascendente. . Disponible: https://myows.com/protects/copyright/67407_mathexploration-pdf . Último acceso: 3 de enero de 2014.