Para cualquier liso n-manifold $M$, la construcción de un suave mapa de $f:M\to S^n$ que no es null-homotópica

Question

PROBLEMA: Para cualquier liso n-manifold $M$, la construcción de un suave mapa de $f:M\to S^n$ que no es null-homotópica ,o aún de grado 1

La siguiente es mi idea: En primer lugar, la elección arbitraria abrir coordinar balón $B$ $M$ y, a continuación, el colapso $M\setminus B$ a un solo punto te da un mapa continuo $f:M \to S^n$.También, podemos suponer que todos los $M\setminus B$ es asignado al polo norte $\mathbb N$.

Es sabido que cualquier mapa continuo $f$ entre los dos colectores $M_1$ $M_2$ es homotópica a una suave mapa de $F$.

Por otra parte, podemos exigir $|F-f|\le \epsilon$ para cualquier positiva función continua $\epsilon$$M_1$ ?

Aquí la norma $|\cdot|$ puede considerarse como una norma Euclídea cuando nos incrusta $M_2$ algunos $\mathbb R^m$

Personalmente, creo que es cierto. Si la afirmación anterior es cierto, entonces denotamos $F$ el buen mapa homotópica a $f$ y elija $\epsilon$ lo suficientemente pequeño. Además, elegimos un valor regular $\mathbb P$ cerca del polo Sur $\mathbb S$$S^n$. A continuación, $\mathbb P$ sólo tiene una preimagen y por lo tanto el grado de $F$ debe ser 1 o -1

Answer 1

En lugar de utilizar aproximaciones es más fácil construir el deseado suave mapa. Específicamente, dada una coordenada balón $B\subset M$, se puede usar un bache función a la construcción de un suave surjection $B\to S^n$ que es constante en un barrio de $\partial B$. Esta función se extiende a la totalidad del colector $M$ dejando $M-B$ mapa a la misma constante, y en este mapa tiene un grado $1$.